Questão 8 Qual o coeficiente
da reta de quadrados mínimos
ajustada aos pontos na tabela abaixo?
1
2
4
8
3,3
4,6
9,2
16,5
(A)2,1471
[B] 2,1376
(C) 2,1424
(D)2,1282
(E)2,1329
|
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1 | 2 | 4 | 8 |
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3,3 | 4,6 | 9,2 | 16,5 |
[B] 2,1376
(C) 2,1424
(D)2,1282
(E)2,1329
Passo 1
O enunciado pede o coeficiente
da reta ajustada por mínimos quadrados do tipo
(reta que passa pela origem) aos pontos dados. Os pontos fornecidos são:
Informações relevantes:
- A reta ajustada tem a forma
(sem intercepto). - Devemos encontrar o valor numérico de
que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.
Passo 2
Vamos obter a fórmula de
para ajuste por mínimos quadrados quando a reta passa pela origem. Definimos a soma dos quadrados dos resíduos como
onde
e
são as coordenadas dos pontos e
é o número de pontos. A ideia é escolher
que minimize
. Para achar o mínimo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Desenvolvendo essa soma e isolando
obtemos
Explicação das variáveis: em
somamos cada produto
; em
somamos os quadrados de
. Essa fórmula é específica para o caso sem intercepto.
Passo 3
Agora calculamos os produtos
ponto a ponto (usei os dados da tabela do enunciado):
Passo 4
Somamos os produtos calculados para obter o numerador:
Passo 5
Agora calculamos os quadrados de
e somamos para o denominador:
logo
Passo 6
Substituindo na fórmula de
temos
Fazendo a divisão
obtemos aproximadamente
. Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas) isso dá
.
Resposta
(E) 2,1329