Questão 8 Qual o coeficiente b_{1} da reta de quadrados mínimos y=b_{1} x ajustada aos pontos na tabela abaixo?
x 1 2 4 8
y 3,3 4,6 9,2 16,5
(A)2,1471
[B] 2,1376
(C) 2,1424
(D)2,1282
(E)2,1329

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente b_{1} da reta ajustada por mínimos quadrados do tipo y=b_{1}x (reta que passa pela origem) aos pontos dados. Os pontos fornecidos são:
(1,\;3,3),\quad (2,\;4,6),\quad (4,\;9,2),\quad (8,\;16,5).
Informações relevantes:
  • A reta ajustada tem a forma y=b_{1}x (sem intercepto).
  • Devemos encontrar o valor numérico de b_{1} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.

Passo 2

Vamos obter a fórmula de b_{1} para ajuste por mínimos quadrados quando a reta passa pela origem. Definimos a soma dos quadrados dos resíduos como
S(b_{1})=\sum_{i=1}^{n} \bigl(y_i - b_{1}x_i\bigr)^{2},
onde x_i e y_i são as coordenadas dos pontos e n é o número de pontos. A ideia é escolher b_{1} que minimize S(b_{1}). Para achar o mínimo, derivamos S(b_{1}) em relação a b_{1} e igualamos a zero:
\frac{d}{db_{1}}S(b_{1})=\frac{d}{db_{1}}\sum_{i=1}^{n} \bigl(y_i - b_{1}x_i\bigr)^{2} = -2\sum_{i=1}^{n} x_i\bigl(y_i - b_{1}x_i\bigr)=0.
Desenvolvendo essa soma e isolando b_{1} obtemos
\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - b_{1}\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad b_{1}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}}.
Explicação das variáveis: em \sum x_i y_i somamos cada produto x_i\cdot y_i; em \sum x_i^{2} somamos os quadrados de x_i. Essa fórmula é específica para o caso sem intercepto.

Passo 3

Agora calculamos os produtos x_i y_i ponto a ponto (usei os dados da tabela do enunciado):
\begin{aligned} 1\cdot 3,3 &= 3,3,\\\\ 2\cdot 4,6 &= 9,2,\\\\ 4\cdot 9,2 &= 36,8,\\\\ 8\cdot 16,5 &= 132,0. \end{aligned}

Passo 4

Somamos os produtos calculados para obter o numerador:
\sum_{i=1}^{4} x_i y_i = 3,3 + 9,2 + 36,8 + 132,0 = 181,3.

Passo 5

Agora calculamos os quadrados de x_i e somamos para o denominador:
\begin{aligned} 1^{2} &= 1,\\\\ 2^{2} &= 4,\\\\ 4^{2} &= 16,\\\\ 8^{2} &= 64, \end{aligned}
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\sum_{i=1}^{4} x_i^{2} = 1 + 4 + 16 + 64 = 85.

Passo 6

Substituindo na fórmula de b_{1} temos
b_{1}=\dfrac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^{2}}=\dfrac{181,3}{85}.
Fazendo a divisão 181,3\div 85 obtemos aproximadamente 2,132941176\ldots. Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas) isso dá 2,1329.

Resposta

(E) 2,1329

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