Questão 1-
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema de cinco equações com cinco incógnitas:
A pergunta implícita é: encontrar os valores de
que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Passo 2
Estratégia prática (sem dizer o nome formal agora): usaremos operações lineares entre equações para eliminar incógnitas uma a uma, ficando com um sistema triangular que depois resolvemos por substituição. Começo escolhendo a primeira equação como pivot para eliminar
das outras equações.
Vou subtrair múltiplos adequados de
primeira equação das demais:
Calcule
Eq2 - 2·Eq1:
Fazendo as contas termo a termo:
Multiplicando por
para ficar mais amistoso:
Passo 3
Calcule Eq3 - 4·Eq1:
Fazendo as contas:
ou seja
Passo 4
Calcule Eq4 - 6·Eq1:
Fazendo as contas:
ou seja
Passo 5
Calcule Eq5 - 7·Eq1:
Fazendo as contas:
ou seja
Passo 6
Agora temos um sistema equivalente sem a variável
nas últimas quatro equações. Escrevo o sistema reduzido:
A próxima etapa é usar a segunda equação (a nova) como pivot para eliminar
nas equações 3, 4 e 5.
Passo 7
Para eliminar
da terceira equação, combino múltiplos inteiros para evitar frações imediatas. Faço
(Eq3) +
(Eq2) (pois
e
e
alinham os coeficientes de
):
Somando:
ou
Passo 8
Para eliminar
da quarta equação, faço
(Eq4) +
(Eq2):
Somando:
ou
Passo 9
Para eliminar
da quinta equação, faço
Eq5
Eq2
:
Eq5:
Somando:
ou
Passo 10
Agora temos um sistema em
(além de
ainda na primeira e segunda equações):
A equação
é a mais simples; vou usá-la para expressar
em função de
e substituir nas outras duas.
Passo 11
Resolver
:
Isolando
:
Passo 12
Substituo
na equação
para encontrar
em função de
.
Começo substituindo:
Calculo termo a termo:
Reagrupo os termos em
:
Como
, então
. Assim:
Isolando
:
logo
Passo 13
Agora substituo
e
na outra equação que sobra:
.
Substituições:
Compute cada termo:
Somando e incluindo
:
Junto constantes e coeficientes de
:
constantes: .
constantes:
coeficiente de
:
, e
. Então acumulo com
:
A equação fica:
Isolando
:
Multiplicando por
:
Então
Passo 14
Com
encontrado, volto a
e
.
Para
:
Calculo a fração:
.
Como , temos
Como
Para
:
Calculo a fração:
.
Como , temos
Como
Passo 15
Agora volto à equação
3y + z + 2w - v = 13
para encontrar
. Substituo
:
Calculo os termos não-
:
Logo
Subtraindo:
Portanto
Passo 16
Finalmente, uso a primeira equação para obter
:
Substituo
:
Somando os termos conhecidos:
Assim
logo