Questão 1-
x+3 y+3 z+2 w+v=22
2 x+3 y+5 z+2 w+3 v=31
4 x+2 y+3 z+w+2 v=20
6 x+y+5 z+3 w+5 v=29
7 x+3 y+4 z+2 w+v=32

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema de cinco equações com cinco incógnitas:
x+3y+3z+2w+v=22
2x+3y+5z+2w+3v=31
4x+2y+3z+w+2v=20
6x+y+5z+3w+5v=29
7x+3y+4z+2w+v=32
A pergunta implícita é: encontrar os valores de x,\;y,\;z,\;w,\;v que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Passo 2

Estratégia prática (sem dizer o nome formal agora): usaremos operações lineares entre equações para eliminar incógnitas uma a uma, ficando com um sistema triangular que depois resolvemos por substituição. Começo escolhendo a primeira equação como pivot para eliminar x das outras equações.
Vou subtrair múltiplos adequados de primeira equação das demais:
Calcule Eq2 - 2·Eq1:
(2x+3y+5z+2w+3v) - 2(x+3y+3z+2w+v) = 31 - 2\cdot22
Fazendo as contas termo a termo:
0x + (-3y) + (-z) + (-2w) + v = -13.
Multiplicando por -1 para ficar mais amistoso:
3y + z + 2w - v = 13.

Passo 3

Calcule Eq3 - 4·Eq1:
(4x+2y+3z+w+2v) - 4(x+3y+3z+2w+v) = 20 - 4\cdot22
Fazendo as contas:
0x + (-10y) + (-9z) + (-7w) + (-2v) = -68,
ou seja
-10y -9z -7w -2v = -68.

Passo 4

Calcule Eq4 - 6·Eq1:
(6x+y+5z+3w+5v) - 6(x+3y+3z+2w+v) = 29 - 6\cdot22
Fazendo as contas:
0x + (-17y) + (-13z) + (-9w) + (-v) = -103,
ou seja
-17y -13z -9w - v = -103.

Passo 5

Calcule Eq5 - 7·Eq1:
(7x+3y+4z+2w+v) - 7(x+3y+3z+2w+v) = 32 - 7\cdot22
Fazendo as contas:
0x + (-18y) + (-17z) + (-12w) + (-6v) = -122,
ou seja
-18y -17z -12w -6v = -122.

Passo 6

Agora temos um sistema equivalente sem a variável x nas últimas quatro equações. Escrevo o sistema reduzido:
x+3y+3z+2w+v=22
3y+z+2w-v=13
-10y-9z-7w-2v=-68
-17y-13z-9w-v=-103
-18y-17z-12w-6v=-122
A próxima etapa é usar a segunda equação (a nova) como pivot para eliminar y nas equações 3, 4 e 5.

Passo 7

Para eliminar y da terceira equação, combino múltiplos inteiros para evitar frações imediatas. Faço 3\cdot(Eq3) + 10\cdot(Eq2) (pois -10 e 3 e 10 alinham os coeficientes de y):
3\cdot(-10y-9z-7w-2v) = -30y -27z -21w -6v
10\cdot(3y+z+2w-v) = 30y +10z +20w -10v
Somando:
0y + (-17z) + (-1w) + (-16v) = -74,
ou
-17z - w -16v = -74.

Passo 8

Para eliminar y da quarta equação, faço 3\cdot(Eq4) + 17\cdot(Eq2):
3\cdot(-17y-13z-9w-v) = -51y -39z -27w -3v
17\cdot(3y+z+2w-v) = 51y +17z +34w -17v
Somando:
0y + (-22z) + 7w + (-20v) = -88,
ou
-22z + 7w -20v = -88.

Passo 9

Para eliminar y da quinta equação, faço (Eq5 ) + 6\cdot(Eq2 ):
Eq5: -18y -17z -12w -6v = -122
6\cdotEq2: 18y +6z +12w -6v = 78
Somando:
0y + (-11z) + 0w + (-12v) = -44,
ou
-11z -12v = -44.

Passo 10

Agora temos um sistema em z,w,v (além de x,y ainda na primeira e segunda equações):
x+3y+3z+2w+v=22
3y+z+2w-v=13
-17z - w -16v = -74
-22z + 7w -20v = -88
-11z -12v = -44
A equação -11z -12v = -44 é a mais simples; vou usá-la para expressar z em função de v e substituir nas outras duas.

Passo 11

Resolver -11z -12v = -44:
11z +12v = 44.
Isolando z:
z = \frac{44 - 12v}{11} = 4 - \frac{12}{11}v.

Passo 12

Substituo z na equação -17z - w -16v = -74 para encontrar w em função de v.
Começo substituindo:
-17\left(4 - \frac{12}{11}v\right) - w -16v = -74.
Calculo termo a termo:
-68 + \frac{204}{11}v - w -16v = -74.
Reagrupo os termos em v:
\left(\frac{204}{11} - 16\right)v - w -68 = -74.
Como 16 = \frac{176}{11}, então \frac{204}{11} - 16 = \frac{28}{11}. Assim:
\frac{28}{11}v - w -68 = -74.
Isolando w:
-w = -74 +68 - \frac{28}{11}v = -6 - \frac{28}{11}v,
logo
w = 6 + \frac{28}{11}v.

Passo 13

Agora substituo z e w na outra equação que sobra: -22z + 7w -20v = -88.
Substituições:
z = 4 - \frac{12}{11}v,\qquad w = 6 + \frac{28}{11}v.
Compute cada termo:
-22z = -22\left(4 - \frac{12}{11}v\right) = -88 + 24v,
7w = 7\left(6 + \frac{28}{11}v\right) = 42 + \frac{196}{11}v.
Somando e incluindo -20v:
(-88 + 24v) + \left(42 + \frac{196}{11}v\right) -20v = -88.
Junto constantes e coeficientes de v:
constantes: -88 + 42 = -46.
coeficiente de v: 24 -20 = 4, e 4 = \frac{44}{11}. Então acumulo com \frac{196}{11}:
\frac{44}{11}v + \frac{196}{11}v = \frac{240}{11}v.
A equação fica:
-46 + \frac{240}{11}v = -88.
Isolando v:
\frac{240}{11}v = -88 + 46 = -42.
Multiplicando por 11:
240 v = -462.
Então
v = -\frac{462}{240} = -\frac{77}{40}.

Passo 14

Com v encontrado, volto a z e w.
Para z:
z = 4 - \frac{12}{11}v = 4 - \frac{12}{11}\left(-\frac{77}{40}\right) = 4 + \frac{12\cdot77}{11\cdot40}.
Calculo a fração: \frac{12\cdot77}{11\cdot40} = \frac{924}{440} = \frac{231}{110}.
Como 4 = \frac{440}{110}, temos
z = \frac{440+231}{110} = \frac{671}{110} = \frac{61}{10}.
Para w:
w = 6 + \frac{28}{11}v = 6 + \frac{28}{11}\left(-\frac{77}{40}\right) = 6 - \frac{28\cdot77}{11\cdot40}.
Calculo a fração: \frac{28\cdot77}{11\cdot40} = \frac{2156}{440} = \frac{539}{110}.
Como 6 = \frac{660}{110}, temos
w = \frac{660-539}{110} = \frac{121}{110} = \frac{11}{10}.

Passo 15

Agora volto à equação 3y + z + 2w - v = 13 para encontrar y. Substituo z,w,v:
3y + \frac{61}{10} + 2\cdot\frac{11}{10} - \left(-\frac{77}{40}\right) = 13.
Calculo os termos não- y:
\frac{61}{10} + \frac{22}{10} + \frac{77}{40} = \frac{83}{10} + \frac{77}{40} = \frac{332}{40} + \frac{77}{40} = \frac{409}{40}.
Logo
3y + \frac{409}{40} = 13 = \frac{520}{40}.
Subtraindo:
3y = \frac{520}{40} - \frac{409}{40} = \frac{111}{40}.
Portanto
y = \frac{111}{120} = \frac{37}{40}.

Passo 16

Finalmente, uso a primeira equação para obter x:
x + 3y + 3z + 2w + v = 22.
Substituo y,z,w,v:
3y = 3\cdot\frac{37}{40} = \frac{111}{40},
3z = 3\cdot\frac{61}{10} = \frac{183}{10} = \frac{732}{40},
2w = 2\cdot\frac{11}{10} = \frac{22}{10} = \frac{88}{40},
v = -\frac{77}{40}.
Somando os termos conhecidos:
\frac{111}{40} + \frac{732}{40} + \frac{88}{40} - \frac{77}{40} = \frac{854}{40} = \frac{427}{20}.
Assim
x + \frac{427}{20} = 22 = \frac{440}{20},
logo
x = \frac{440-427}{20} = \frac{13}{20}.

Resposta

x=\dfrac{13}{20}
y=\dfrac{37}{40}
z=\dfrac{61}{10}
w=\dfrac{11}{10}
v=-\dfrac{77}{40}

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