questão: Considere os seguintes pontos do plano cartesiano:
e
. Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(4).
(a) 3,4
(b) 4,7
(c) 5,2
(d) 6,1
(e) Não sei
(a) 3,4
(b) 4,7
(c) 5,2
(d) 6,1
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano:
,
e
.
Pede para encontrar o polinômio que interpola esses pontos usando o método de Lagrange e, em seguida, determinar
.
Informações relevantes: os pontos fornecem pares com
.
O que precisamos responder: o valor numérico de .
Pede para encontrar o polinômio
Informações relevantes: os pontos fornecem pares
O que precisamos responder: o valor numérico de
Passo 2
Apresentando a fórmula de Lagrange (explicação didática).
A ideia: dado pontos com abscissas distintas
, o polinômio interpolador de grau
pode ser escrito como
A ideia: dado
onde cada
é o polinômio básico de Lagrange que vale
em
e
em todas as outras abscissas
(
).
A fórmula de é:
A fórmula de
Explicação das variáveis:
é a variável do polinômio que queremos construir;
e
são as abscissas dos pontos dados;
é a ordenada do ponto correspondente.
No nosso caso temos (três pontos) e usaremos
.
No nosso caso temos
Passo 3
Construindo explicitamente os
com os pontos dados.
Para (ponto
):
Para
Calculemos o denominador:
. Logo
Para
(ponto
):
Denominador:
. Assim
Para
(ponto
):
Denominador:
. Portanto
Passo 4
Montando o polinômio interpolador
pela soma ponderada:
Substituindo os
dados:
É perfeitamente aceitável usar essa forma para calcular
em qualquer ponto; para verificar podemos também expandir, mas como queremos especialmente
, vamos substituir
direto — assim economizamos trabalho e erros de expansão.
Passo 5
Calculando
substituindo
nas expressões de
. Primeiro os
:
Agora multiplicamos pelos respectivos
e somamos:
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Somando as frações:
. Colocando em denominador comum
:
Portanto o valor exato é
, que é aproximadamente
.