2{ }^{\text {a }} questão: Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (2,-1),(3,2) e (6,10). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(4).
(a) 3,4
(b) 4,7
(c) 5,2
(d) 6,1
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano: (2,-1), (3,2) e (6,10).
Pede para encontrar o polinômio p que interpola esses pontos usando o método de Lagrange e, em seguida, determinar p(4).
Informações relevantes: os pontos fornecem pares (x_i,y_i) com x_1=2,\;y_1=-1;\;x_2=3,\;y_2=2;\;x_3=6,\;y_3=10.
O que precisamos responder: o valor numérico de p(4).

Passo 2

Apresentando a fórmula de Lagrange (explicação didática).
A ideia: dado n\!+\!1 pontos com abscissas distintas (x_i,y_i), o polinômio interpolador de grau \le n pode ser escrito como
p(x)=\sum_{i=1}^{n+1} y_i\,L_i(x),
onde cada L_i(x) é o polinômio básico de Lagrange que vale 1 em x=x_i e 0 em todas as outras abscissas x_j ( j\neq i).
A fórmula de L_i(x) é:
L_i(x)=\prod_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{n+1}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicação das variáveis: x é a variável do polinômio que queremos construir; x_i e x_j são as abscissas dos pontos dados; y_i é a ordenada do ponto correspondente.
No nosso caso temos n=2 (três pontos) e usaremos L_1,L_2,L_3.

Passo 3

Construindo explicitamente os L_i(x) com os pontos dados.
Para i=1 (ponto (2,-1)):
L_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}=\frac{(x-3)(x-6)}{(2-3)(2-6)}.
Calculemos o denominador: (2-3)(2-6)=(-1)(-4)=4. Logo
L_1(x)=\frac{(x-3)(x-6)}{4}.
Para i=2 (ponto (3,2)):
L_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}=\frac{(x-2)(x-6)}{(3-2)(3-6)}.
Denominador: (3-2)(3-6)=(1)(-3)=-3. Assim
L_2(x)=-\frac{(x-2)(x-6)}{3}.
Para i=3 (ponto (6,10)):
L_3(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}=\frac{(x-2)(x-3)}{(6-2)(6-3)}.
Denominador: (6-2)(6-3)=4\cdot 3=12. Portanto
L_3(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{12}.

Passo 4

Montando o polinômio interpolador p(x) pela soma ponderada:
p(x)=y_1L_1(x)+y_2L_2(x)+y_3L_3(x).
Substituindo os y_i dados:
p(x) = (-1)\cdot\frac{(x-3)(x-6)}{4} \;+\; 2\cdot\Big(-\frac{(x-2)(x-6)}{3}\Big) \;+\; 10\cdot\frac{(x-2)(x-3)}{12}.
É perfeitamente aceitável usar essa forma para calcular p em qualquer ponto; para verificar podemos também expandir, mas como queremos especialmente p(4), vamos substituir x=4 direto — assim economizamos trabalho e erros de expansão.

Passo 5

Calculando p(4) substituindo x=4 nas expressões de L_i. Primeiro os L_i(4):
L_1(4)=\frac{(4-3)(4-6)}{4}=\frac{1\cdot(-2)}{4}=-\tfrac{1}{2}.
L_2(4)=-\frac{(4-2)(4-6)}{3}=-\frac{2\cdot(-2)}{3}=\frac{4}{3}.
L_3(4)=\frac{(4-2)(4-3)}{12}=\frac{2\cdot 1}{12}=\frac{1}{6}.
Agora multiplicamos pelos respectivos y_i e somamos:
p(4)=(-1)\cdot L_1(4) \;+\; 2\cdot L_2(4) \;+\; 10\cdot L_3(4).
Substituindo os valores:
p(4)=(-1)\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big) \;+\; 2\cdot\big(\tfrac{4}{3}\big) \;+\; 10\cdot\big(\tfrac{1}{6}\big).
Calcule passo a passo:
(-1)\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{2},
2\cdot\big(\tfrac{4}{3}\big)=\tfrac{8}{3},
10\cdot\big(\tfrac{1}{6}\big)=\tfrac{10}{6}=\tfrac{5}{3}.
Somando as frações: \tfrac{1}{2}+\tfrac{8}{3}+\tfrac{5}{3}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{13}{3}. Colocando em denominador comum 6:
\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{6},\qquad \tfrac{13}{3}=\tfrac{26}{6},
p(4)=\tfrac{3}{6}+\tfrac{26}{6}=\tfrac{29}{6}.
Portanto o valor exato é \tfrac{29}{6}, que é aproximadamente 4{,}833\ldots.

Resposta

\displaystyle \frac{29}{6}

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