Questão 8. Seja ABC um triângulo acutângulo com circunraio igual a 1 e ortocentro H . Se as distâncias de H aos lados medem 1, 1 / 2 e 1 / 3, a área do triângulo valeˋ:
A ( ) \frac{1}{6}
B ( ) \frac{\sqrt{11}}{6}
C ( ) \frac{\sqrt{18}}{6}
D ( ) \frac{\sqrt{22}}{6}
E ( ) NDA

Passo 1

O enunciado dá:
  • Triângulo ABC é acutângulo.
  • Circunraio R=1.
  • Ortocentro H.
  • As distâncias de H aos lados (perpendiculares de H até as retas BC,CA,AB) são, em alguma ordem, \,1,\; \tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{3}.
O que se pede:
  • A área do triângulo ABC.
Informações relevantes que vou usar (já retiradas do enunciado):
  • R=1.
  • Os três números \,1,\; \tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{3} são os três valores das distâncias de H aos lados (a ordem específica não importa para os cálculos simétricos que farei).

Passo 2

Notações e fórmulas básicas (explico cada uma):
  • Angulações: A,B,C são os ângulos nos vértices A,B,C.
  • Lados: a=BC,\; b=CA,\; c=AB.
  • Relação lado–raio-circunferência: para qualquer vértice, a=2R\sin A,\; b=2R\sin B,\; c=2R\sin C. Explicação curta: é a fórmula conhecida a=2R\sin A que vem da lei dos senos.
  • Área em função de R e dos senos: usando \Delta=\dfrac{abc}{4R} e a=2R\sin A etc., obtemos
\Delta = 2R^2\sin A\sin B\sin C.
Com R=1 isso fica
\Delta = 2\sin A\sin B\sin C.
Vou então calcular \sin A\sin B\sin C.

Passo 3

Fórmula para a distância do ortocentro H ao lado BC (e ciclos):
  • Denotando por d_a a distância de H à reta BC (altitude do ponto H sobre BC), temos a identidade (para triângulo acutângulo)
d_a = 2R\cos B\cos C.
Explicação passo a passo dessa fórmula:
  1. A altura desde A até BC (distância de A a BC) vale h_a = 2R\sin B\sin C, pois h_a = b\sin C e b=2R\sin B.
  2. A distância AH (do vértice A até o ortocentro) vale AH=2R\cos A. Esta é uma identidade padrão (pode-se ver projetando AH no raio ou usando coordenadas no círculo circunscrito).
  3. Para triângulo acutângulo o ortocentro H está entre A e o pé da altura em BC, portanto a distância de H até BC é d_a = h_a - AH = 2R(\sin B\sin C - \cos A).
  4. Usando \cos A = -\cos(B+C) = -\cos B\cos C + \sin B\sin C obtemos \sin B\sin C - \cos A = \cos B\cos C. Assim
d_a = 2R\cos B\cos C.
Analogamente:
d_b = 2R\cos C\cos A,\qquad d_c = 2R\cos A\cos B.

Passo 4

Aplicando R=1 e passando para variáveis mais simples:
  • Defina x=\cos A,\; y=\cos B,\; z=\cos C. Como o triângulo é acutângulo, x,y,z>0.
  • Pelas fórmulas de cima, os três números 2yz,\;2zx,\;2xy são exatamente as três distâncias de H aos lados. Como essas distâncias são 1,\; \tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{3} em alguma ordem, temos (como conjunto)
\{2xy,\,2yz,\,2zx\}=\left\{1,\;\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{3}\right\}.
  • Multiplicando as três equações (independentemente da ordem) obtemos
(2xy)(2yz)(2zx)=8x^2y^2z^2=1\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}.
Logo
x y z = \sqrt{\tfrac{1}{48}}=\tfrac{1}{4\sqrt{3}}.

Passo 5

Vou obter \sin A\sin B\sin C=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)} usando simetrias. Para isso preciso de algumas quantidades simétricas em x,y,z.
Uma identidade trigonométrica útil (padrão) é
x^2+y^2+z^2 + 2xyz = 1,
ou seja
x^2+y^2+z^2 = 1-2xyz.
Breve comentário: essa identidade é a forma conhecida \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1, que pode ser obtida usando relacionamentos entre cosenos dos ângulos de um triângulo (é uma identidade clássica).
Como já temos xyz=\dfrac{1}{4\sqrt{3}}, obtemos
x^2+y^2+z^2 = 1 - 2\cdot \tfrac{1}{4\sqrt{3}} = 1 - \tfrac{1}{2\sqrt{3}}.

Passo 6

Calcule agora a soma dos quadrados dos produtos pareados:
x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2.
Como 2xy,2yz,2zx são 1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}, temos
xy\in\left\{\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{6}\right\},
portanto
(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{1}{4}\right)^2+\left(\tfrac{1}{6}\right)^2 = \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{36}.
Fazendo a soma com denominador 144:
\tfrac{36+9+4}{144}=\tfrac{49}{144}.
Também já temos
x^2y^2z^2=(xyz)^2=\tfrac{1}{48}.

Passo 7

Agora calcule (\sin A\sin B\sin C)^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2). Expandindo com somas simétricas:
(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) = 1 - (x^2+y^2+z^2) + (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) - x^2y^2z^2.
Substituindo os valores que já obtivemos:
1 - (1-\tfrac{1}{2\sqrt{3}}) + \tfrac{49}{144} - \tfrac{1}{48}.
Simplificando o primeiro par:
1 - 1 + \tfrac{1}{2\sqrt{3}} = \tfrac{1}{2\sqrt{3}}.
Combine os termos racionais:
\tfrac{49}{144}-\tfrac{1}{48}=\tfrac{49}{144}-\tfrac{3}{144}=\tfrac{46}{144}=\tfrac{23}{72}.
Logo
(\sin A\sin B\sin C)^2 = \tfrac{1}{2\sqrt{3}} + \tfrac{23}{72}.
Observação: \tfrac{1}{2\sqrt{3}}=\tfrac{\sqrt{3}}{6}, então
(\sin A\sin B\sin C)^2 = \tfrac{23}{72} + \tfrac{\sqrt{3}}{6} = \tfrac{23+12\sqrt{3}}{72}.

Passo 8

Agora a área (lembre: R=1) é
\Delta = 2\sin A\sin B\sin C = 2\sqrt{(\sin A\sin B\sin C)^2}.
Substituindo o valor obtido:
\Delta = 2\sqrt{\tfrac{23+12\sqrt{3}}{72}}.
Simplificando sob a raiz:
\Delta = \sqrt{\dfrac{23+12\sqrt{3}}{18}}.
Esta é a forma exata da área.
Para conferência numérica:
\Delta \approx 1{,}5596\ldots

Passo 9

Comparando com as alternativas dadas:
  • (A) \dfrac{1}{6}\approx0{,}1667
  • (B) \dfrac{\sqrt{11}}{6}\approx0{,}5527
  • (C) \dfrac{\sqrt{18}}{6}=\dfrac{\sqrt{18}}{6}=\dfrac{3\sqrt{2}}{6}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071
  • (D) \dfrac{\sqrt{22}}{6}\approx0{,}7816
A área exata que encontramos \sqrt{\dfrac{23+12\sqrt{3}}{18}}\approx1{,}5596 não coincide com nenhuma das alternativas A–D (note que as alternativas B–D são bem menores que o valor obtido). Portanto a escolha correta é a alternativa que indica que nenhuma das anteriores (NDA) se aplica.

Resposta

E

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