Questão 8. Seja ABC um triângulo acutângulo com circunraio igual a 1 e ortocentro H . Se as distâncias de H aos lados medem 1,
e
, a área do triângulo valeˋ:
A ( )
B ( )
C ( )
D ( )
E ( ) NDA
A ( )
B ( )
C ( )
D ( )
E ( ) NDA
Passo 1
O enunciado dá:
- Triângulo
é acutângulo. - Circunraio
. - Ortocentro
. - As distâncias de
aos lados (perpendiculares de até as retas ) são, em alguma ordem,
O que se pede:
- A área do triângulo
.
Informações relevantes que vou usar (já retiradas do enunciado):
-
. - Os três números
são os três valores das distâncias de aos lados (a ordem específica não importa para os cálculos simétricos que farei).
Passo 2
Notações e fórmulas básicas (explico cada uma):
- Angulações:
são os ângulos nos vértices . - Lados:
. - Relação lado–raio-circunferência: para qualquer vértice,
. Explicação curta: é a fórmula conhecida que vem da lei dos senos. - Área em função de
e dos senos: usando e etc., obtemos
Com
isso fica
Vou então calcular
.
Passo 3
Fórmula para a distância do ortocentro
ao lado
(e ciclos):
- Denotando por
a distância de à reta (altitude do ponto sobre ), temos a identidade (para triângulo acutângulo)
Explicação passo a passo dessa fórmula:
- A altura desde
até (distância de a ) vale , pois e . - A distância
(do vértice até o ortocentro) vale . Esta é uma identidade padrão (pode-se ver projetando no raio ou usando coordenadas no círculo circunscrito). - Para triângulo acutângulo o ortocentro
está entre e o pé da altura em , portanto a distância de até é . - Usando
obtemos . Assim
Analogamente:
Passo 4
Aplicando
e passando para variáveis mais simples:
- Defina
. Como o triângulo é acutângulo, . - Pelas fórmulas de cima, os três números
são exatamente as três distâncias de aos lados. Como essas distâncias são em alguma ordem, temos (como conjunto)
- Multiplicando as três equações (independentemente da ordem) obtemos
Logo
Passo 5
Vou obter
usando simetrias. Para isso preciso de algumas quantidades simétricas em
.
Uma identidade trigonométrica útil (padrão) é
ou seja
Breve comentário: essa identidade é a forma conhecida
, que pode ser obtida usando relacionamentos entre cosenos dos ângulos de um triângulo (é uma identidade clássica).
Como já temos
, obtemos
Passo 6
Calcule agora a soma dos quadrados dos produtos pareados:
Como
são
, temos
portanto
Fazendo a soma com denominador
:
Também já temos
Passo 7
Agora calcule
. Expandindo com somas simétricas:
Substituindo os valores que já obtivemos:
Simplificando o primeiro par:
Combine os termos racionais:
Logo
Observação:
, então
Passo 8
Agora a área (lembre:
) é
Substituindo o valor obtido:
Simplificando sob a raiz:
Esta é a forma exata da área.
Para conferência numérica:
Passo 9
Comparando com as alternativas dadas:
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
A área exata que encontramos
não coincide com nenhuma das alternativas A–D (note que as alternativas B–D são bem menores que o valor obtido). Portanto a escolha correta é a alternativa que indica que nenhuma das anteriores (NDA) se aplica.
Resposta
E