Questão 14 Dizemos que duas funções
e
são ortogonais em
, segundo o produto interno usual, se
Verifique que os três primeiros polinômios de Legendre
são ortogonais entre si no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os três primeiros polinômios de Legendre
são ortogonais em
, isto é, que
Vamos primeiro obter explicitamente
e
, e depois calcular os três produtos internos.
Passo 2
Calcular
usando a definição com
:
Passo 3
Calcular
com
: primeiro
depois a segunda derivada
logo
Passo 4
Calcular
. Como
e
,
Passo 5
Calcular
. Como
,
Mas
e
, então
Passo 6
Calcular
. Substituindo
e
,
Sabendo que
e
, concluímos que esse integral vale
.
Resposta
Os três primeiros polinômios de Legendre
são ortogonais em
, pois todos os produtos internos cruzados calculados deram zero.