Questão 9 Calcular
utilizando a quadratura de Gauss-Legendre com cinco pontos e a regra
de Simpson com
. Calcule o valor analítico para comparar.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
de três maneiras:
- Analiticamente, encontrando a primitiva exata.
- Numericamente pela regra composta de Simpson
com . - Numericamente pela quadratura de Gauss–Legendre de cinco pontos.
Para isso vamos usar:
– Para o método de Simpson, a fórmula composta com passo .
– Para Gauss–Legendre, a transformação do intervalo em
, os nós
e pesos
conhecidos para cinco pontos.
– Para o método de Simpson, a fórmula composta com passo
– Para Gauss–Legendre, a transformação do intervalo
Passo 2
Primeiro o valor analítico. Uma antiderivada de
é
Logo
Passo 3
Agora a regra composta de Simpson
com
.
Temos ,
e
Temos
Os pontos são
Calculamos
:
A fórmula composta é
Substituindo,
Passo 4
Agora a quadratura de Gauss–Legendre de cinco pontos.
Transformamos , de modo que
Transformamos
Os nós
e pesos
para cinco pontos são:
Calculamos
e
:
A soma ponderada é
portanto
Passo 5
Comparando os resultados:
A quadratura de Gauss–Legendre ficou mais próxima do valor exato do que Simpson para
.
Resposta
Valor analítico:
Regra de Simpson
:
Gauss–Legendre 5 pontos: