Questão 9 Calcular
\int_{0}^{3}\left(e^{x}+2 x\right) d x
utilizando a quadratura de Gauss-Legendre com cinco pontos e a regra 1 / 3 de Simpson com n=4. Calcule o valor analítico para comparar.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{3}\bigl(e^{x}+2x\bigr)\,dx
de três maneiras:
  1. Analiticamente, encontrando a primitiva exata.
  2. Numericamente pela regra composta de Simpson 1/3 com n=4.
  3. Numericamente pela quadratura de Gauss–Legendre de cinco pontos.
Para isso vamos usar:
– Para o método de Simpson, a fórmula composta com passo h=(b-a)/n.
– Para Gauss–Legendre, a transformação do intervalo [0,3] em [-1,1], os nós t_i e pesos w_i conhecidos para cinco pontos.

Passo 2

Primeiro o valor analítico. Uma antiderivada de f(x)=e^x+2x é
F(x)=e^x + x^2.
Logo
I = F(3)-F(0) = \bigl(e^3 + 3^2\bigr) - \bigl(e^0 + 0^2\bigr) = e^3 + 9 - 1 = e^3 + 8.

Passo 3

Agora a regra composta de Simpson 1/3 com n=4.
Temos a=0, b=3 e
h = \frac{b-a}{n} = \frac{3}{4} = 0{,}75.
Os pontos são
x_0 = 0,\; x_1 = 0{,}75,\; x_2 = 1{,}5,\; x_3 = 2{,}25,\; x_4 = 3.
Calculamos f(x_i)=e^{x_i}+2x_i:
f(x_0)=1,\; f(x_1)\approx3{,}6170,\; f(x_2)\approx7{,}4817,\; f(x_3)\approx13{,}9877,\; f(x_4)\approx26{,}0855.
A fórmula composta é
I_{\mathrm{S}} = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+f(x_4) +4\bigl(f(x_1)+f(x_3)\bigr) +2\,f(x_2)\Bigr].
Substituindo,
I_{\mathrm{S}} = \frac{0{,}75}{3}\bigl[1 + 26,0855 + 4(3,6170 + 13,9877) + 2\cdot7,4817\bigr] \approx28{,}1169.

Passo 4

Agora a quadratura de Gauss–Legendre de cinco pontos.
Transformamos x=\tfrac{b+a}{2}+\tfrac{b-a}{2}t=1{,}5+1{,}5\,t, de modo que
\int_{0}^{3}f(x)\,dx = \frac{3-0}{2}\int_{-1}^{1}f\bigl(1{,}5+1{,}5\,t\bigr)\,dt.
Os nós t_i e pesos w_i para cinco pontos são: \displaystyle t=\pm0{,}9061798459,\;w=0{,}2369268851; \displaystyle t=\pm0{,}5384693101,\;w=0{,}4786286705; \displaystyle t=0,\;w=0{,}5688888889. Calculamos x_i=1{,}5+1{,}5\,t_i e f_i=f(x_i): \displaystyle x=\{0{,}14073,\;0{,}69230,\;1{,}5,\;2{,}30770,\;2{,}85927\}, \displaystyle f_i\approx\{1,4325,\;3,3826,\;7,4817,\;14,6654,\;23,1586\}. A soma ponderada é
S = \sum_{i=1}^{5} w_i\,f_i \approx 18{,}7250,
portanto
I_{\mathrm{G}} = \frac{3}{2}\,S \approx1{,}5\times18{,}7250 = 28{,}0875.

Passo 5

Comparando os resultados:
I_{\text{analítico}} = e^3+8\approx28{,}0855, \quad I_{\mathrm{S}}\approx28{,}1169, \quad I_{\mathrm{G}}\approx28{,}0875.í
A quadratura de Gauss–Legendre ficou mais próxima do valor exato do que Simpson para n=4.

Resposta

Valor analítico:
I = e^3 + 8 \approx 28{,}0855.
Regra de Simpson n=4:
I_{\mathrm{S}} \approx 28{,}1169.
Gauss–Legendre 5 pontos:
I_{\mathrm{G}} \approx 28{,}0875.

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