Questão 16 Calcular os coeficientes da aproximação g(x)=b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}
x -2,0 -1,5 0,0 1,0 2,2 3,1
y -30,5 -20,2 -3,3 8,9 16,8 21,4

Passo 1

O enunciado pede a aproximação pelo método dos mínimos quadrados de grau 2 de um conjunto de 6 pontos (x_i,y_i)\) usando \[g(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}.
Para isso, vamos montar e resolver o sistema normal
\begin{cases} n\,b_{0}+\sum x_{i}\,b_{1}+\sum x_{i}^{2}\,b_{2}=\sum y_{i},\\[6pt] \sum x_{i}\,b_{0}+\sum x_{i}^{2}\,b_{1}+\sum x_{i}^{3}\,b_{2}=\sum x_{i}y_{i},\\[6pt] \sum x_{i}^{2}\,b_{0}+\sum x_{i}^{3}\,b_{1}+\sum x_{i}^{4}\,b_{2}=\sum x_{i}^{2}y_{i}, \end{cases}
onde (n=6].]

Passo 2

Calculamos os somatórios necessários:
\sum x_{i} = -2{,}0 + (-1{,}5) + 0 + 1 + 2{,}2 + 3{,}1 = 2{,}8,
\sum x_{i}^{2} = 4 + 2{,}25 + 0 + 1 + 4{,}84 + 9{,}61 = 21{,}70,
\sum x_{i}^{3} = -8 - 3{,}375 + 0 + 1 + 10{,}648 + 29{,}791 = 30{,}064,
\sum x_{i}^{4} = 16 + 5{,}0625 + 0 + 1 + 23{,}4256 + 92{,}3521 = 137{,}8402,
\sum y_{i} = -30{,}5 -20{,}2 -3{,}3 +8{,}9 +16{,}8 +21{,}4 = -6{,}9,
\sum x_{i}y_{i} = 61 +30{,}3 +0 +8{,}9 +36{,}96 +66{,}34 = 203{,}5,
\sum x_{i}^{2}y_{i} = -122 -45{,}45 +0 +8{,}9 +81{,}312 +205{,}654 = 128{,}416.

Passo 3

Substituindo esses valores no sistema normal obtemos
\begin{cases} 6\,b_{0} + 2{,}8\,b_{1} + 21{,}70\,b_{2} = -6{,}9,\\[4pt] 2{,}8\,b_{0} + 21{,}70\,b_{1} + 30{,}064\,b_{2} = 203{,}5,\\[4pt] 21{,}70\,b_{0} + 30{,}064\,b_{1} + 137{,}8402\,b_{2} = 128{,}416. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo por eliminação (primeiro isolando b_{0} na primeira equação e substituindo nas outras duas), chegamos aos dois equilávocos em b_{1} e b_{2}. Após calcular, encontra-se
b_{2}\approx -1{,}22, \qquad b_{1}\approx 11{,}33.

Passo 5

Por fim, substituindo b_{1} e b_{2} em
b_{0} = \frac{-6{,}9 - 2{,}8\,b_{1} - 21{,}7\,b_{2}}{6},
obtém-se
b_{0}\approx -2{,}02.

Resposta

b_{0}\approx -2{,}02,\quad b_{1}\approx 11{,}33,\quad b_{2}\approx -1{,}22.

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