Questão 14 Dizemos que duas funções f(x) e g(x) são ortogonais em [\mathrm{a}, \mathrm{b}], segundo o produto interno usual, se
(f, g)=\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=0
Verifique que os três primeiros polinômios de Legendre
P_{0}(x)=1, P_{k}(x)=\frac{1}{2^{k} k!} \frac{d^{(k)}}{d x^{(k)}}\left[\left(x^{2}-1\right)\right]^{k}, k=1,2, \ldots
são ortogonais entre si no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os três primeiros polinômios de Legendre
P_{0}(x)=1,\quad P_{k}(x)=\frac{1}{2^{k}k!}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\bigl[(x^{2}-1)^{k}\bigr],\;k=1,2
são ortogonais em [-1,1], isto é, que
\int_{-1}^{1}P_{i}(x)\,P_{j}(x)\,dx=0\quad\text{para }i\neq j,\;i,j\in\{0,1,2\}.
Vamos primeiro obter explicitamente P_{1} e P_{2}, e depois calcular os três produtos internos.

Passo 2

Calcular P_{1}(x) usando a definição com k=1:
P_{1}(x)=\frac{1}{2^{1}1!}\frac{d}{dx}\bigl[(x^{2}-1)^{1}\bigr] =\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x^{2}-1) =\frac{1}{2}\cdot2x =x.

Passo 3

Calcular P_{2}(x) com k=2: primeiro
(x^{2}-1)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1,
depois a segunda derivada
\frac{d^{2}}{dx^{2}}(x^{4}-2x^{2}+1) =\frac{d}{dx}(4x^{3}-4x) =12x^{2}-4,
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P_{2}(x) =\frac{1}{2^{2}2!}\bigl(12x^{2}-4\bigr) =\frac{1}{8}(12x^{2}-4) =\frac{3x^{2}-1}{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int_{-1}^{1}P_{0}(x)P_{1}(x)\,dx. Como P_{0}(x)=1 e P_{1}(x)=x,
\int_{-1}^{1}1\cdot x\,dx =\int_{-1}^{1}x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{-1}^{1} =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2} =0.

Passo 5

Calcular \displaystyle\int_{-1}^{1}P_{0}(x)P_{2}(x)\,dx. Como P_{2}(x)=\tfrac{3x^{2}-1}{2},
\int_{-1}^{1}1\cdot\frac{3x^{2}-1}{2}\,dx =\frac{1}{2}\Bigl(3\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx-\int_{-1}^{1}1\,dx\Bigr).
Mas \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\tfrac{2}{3} e \int_{-1}^{1}1\,dx=2, então
\frac{1}{2}\bigl(3\cdot\tfrac{2}{3}-2\bigr) =\frac{1}{2}(2-2) =0.

Passo 6

Calcular \displaystyle\int_{-1}^{1}P_{1}(x)P_{2}(x)\,dx. Substituindo P_{1}(x)=x e P_{2}(x)=\tfrac{3x^{2}-1}{2},
\int_{-1}^{1}x\cdot\frac{3x^{2}-1}{2}\,dx =\frac{1}{2}\Bigl(3\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx-\int_{-1}^{1}x\,dx\Bigr).
Sabendo que \int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=0 e \int_{-1}^{1}x\,dx=0, concluímos que esse integral vale 0.

Resposta

Os três primeiros polinômios de Legendre P_{0},P_{1},P_{2} são ortogonais em [-1,1], pois todos os produtos internos cruzados calculados deram zero.

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