(Fenômeno de Runge) Considere o problema de interpolar a função
no intervalo
utilizando 3,5 e 9 pontos igualmente espaçados. Utilize a matriz de Vandermonde para encontrar os polinômios interpoladores. Utilize o GeoGebra para graficar o resultado. Discuta.
Passo 1
O enunciado pede para interpolar a função
no intervalo
usando 3, 5 e 9 pontos igualmente espaçados, montando a matriz de Vandermonde e resolvendo o sistema linear para obter os coeficientes do polinômio interpolador. O conteúdo principal é interpolação polinomial e a discussão do fenômeno de Runge.
Passo 2
Para cada caso com
pontos escolhemos os nós
e definimos
. Montamos a matriz de Vandermonde
e resolvemos
para obter o vetor de coeficientes
, de modo que
Passo 3
Caso
(grau
) temos nós
e valores
Como o sistema é simétrico em torno de
, aparece
. Da equação para
vem
. Das equações para
Logo o polinômio interpolador de grau 2 é
Passo 4
Caso
(grau
) os nós são
e observamos de novo simetria ímpar nula, ou seja,
. Das condições em
e
resolvemos o sistema para
e obtivemos aproximadamente
ou seja
Passo 5
Caso
(grau
) montamos a matriz
e usamos o GeoGebra para resolver numericamente os coeficientes
. O polinômio
obtido tem coeficientes que representam bem
no centro de
mas introduzem grandes oscilações perto dos extremos.
Passo 6
No GeoGebra traçamos simultaneamente
e os três interpoladores
,
e
. Observamos:
-
aproxima grosseiramente, mas sem oscilações. -
já fica mais ajustado, com pequeno desvio nas bordas. -
segue no centro, porém oscila fortemente perto de .
Passo 7
Essa piora ao aumentar o número de nós igualmente espaçados é justamente o fenômeno de Runge: polinômios de alto grau em nós equidistantes geram oscilações nas extremidades, fazendo a aproximação divergir localmente apesar de usar mais pontos.
Resposta
O polinômio de grau 2 é
o de grau 4 é
e o de grau 8
apresenta oscilações pronunciadas nas extremidades. No GeoGebra percebe-se que quanto maior o grau com nós igualmente espaçados, pior fica a aproximação nas bordas, ilustrando o fenômeno de Runge.