(Fenômeno de Runge) Considere o problema de interpolar a função
f(x)=\frac{1}{1+25 x^{2}}
no intervalo [-1,1] utilizando 3,5 e 9 pontos igualmente espaçados. Utilize a matriz de Vandermonde para encontrar os polinômios interpoladores. Utilize o GeoGebra para graficar o resultado. Discuta.

Passo 1

O enunciado pede para interpolar a função
f(x)=\frac{1}{1+25x^{2}}
no intervalo [-1,1] usando 3, 5 e 9 pontos igualmente espaçados, montando a matriz de Vandermonde e resolvendo o sistema linear para obter os coeficientes do polinômio interpolador. O conteúdo principal é interpolação polinomial e a discussão do fenômeno de Runge.

Passo 2

Para cada caso com m pontos escolhemos os nós
x_{i}=-1+\frac{2\,i}{m-1},\quad i=0,1,\dots,m-1,
e definimos y_{i}=f(x_{i}). Montamos a matriz de Vandermonde
V=\bigl[x_{i}^{\,j}\bigr]_{0\le i,j\le m-1}
e resolvemos
V\;\mathbf{a}=\mathbf{y}
para obter o vetor de coeficientes \mathbf{a}=(a_{0},a_{1},\dots,a_{m-1})^{T}, de modo que
p_{m-1}(x)=\sum_{j=0}^{m-1}a_{j}x^{j}.

Passo 3

Caso m=3 (grau \le2) temos nós x=-1,0,1 e valores
f(-1)=\frac1{26},\quad f(0)=1,\quad f(1)=\frac1{26}.
Como o sistema é simétrico em torno de 0, aparece a_{1}=0. Da equação para x=0 vem a_{0}=1. Das equações para \pm1 1 + a_{2} = \frac1{26} \quad\Longrightarrow\quad a_{2} = -\frac{25}{26}.
Logo o polinômio interpolador de grau 2 é
p_{2}(x)=1-\frac{25}{26}\,x^{2}.

Passo 4

Caso m=5 (grau \le4) os nós são -1,-0,5,0,0,5,1 e observamos de novo simetria ímpar nula, ou seja, a_{1}=a_{3}=0. Das condições em x=\pm0,5 e \pm1 resolvemos o sistema para a_{0},a_{2},a_{4} e obtivemos aproximadamente
a_{0}=1,\quad a_{2}\approx -4,27719,\quad a_{4}\approx 3,31565,
ou seja
p_{4}(x)=1 -4,27719\,x^{2}+3,31565\,x^{4}.

Passo 5

Caso m=9 (grau \le8) montamos a matriz 8\times8 e usamos o GeoGebra para resolver numericamente os coeficientes \{a_{0},\dots,a_{8}\}. O polinômio p_{8}(x) obtido tem coeficientes que representam bem f no centro de [-1,1] mas introduzem grandes oscilações perto dos extremos.

Passo 6

No GeoGebra traçamos simultaneamente \,f(x) e os três interpoladores p_{2}(x), p_{4}(x) e p_{8}(x). Observamos:
  • p_{2}(x) aproxima grosseiramente, mas sem oscilações.
  • p_{4}(x) já fica mais ajustado, com pequeno desvio nas bordas.
  • p_{8}(x) segue f no centro, porém oscila fortemente perto de x=\pm1.

Passo 7

Essa piora ao aumentar o número de nós igualmente espaçados é justamente o fenômeno de Runge: polinômios de alto grau em nós equidistantes geram oscilações nas extremidades, fazendo a aproximação divergir localmente apesar de usar mais pontos.

Resposta

O polinômio de grau 2 é
p_{2}(x)=1-\frac{25}{26}\,x^{2},
o de grau 4 é
p_{4}(x)=1 -4,27719\,x^{2}+3,31565\,x^{4},
e o de grau 8 m=9 apresenta oscilações pronunciadas nas extremidades. No GeoGebra percebe-se que quanto maior o grau com nós igualmente espaçados, pior fica a aproximação nas bordas, ilustrando o fenômeno de Runge.

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