Questão 2. ( 20 pts ) Considere um sistema de ponto flutuante
com os seguintes valores já fornecidos:
- Menor número positivo:
.
- Maior número positivo:
.
- Epsilon do SPF (
):
.
Determine:
- A base
do sistema.
- A quantidade
de dígitos da mantissa.
- O menor e o maior expoente,
e
, respectivamente.
Observação: os parâmetros do SPF são números inteiros.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema de ponto flutuante
e fornece três números:
- Menor número positivo representável:
. - Maior número positivo representável:
. - Epsilon do SPF (
): .
O que precisamos determinar (cada um é inteiro):
- A base
. - A quantidade de dígitos da mantissa
. - Os limites dos expoentes: o menor expoente escrito como
e o maior expoente .
Observação: a resolução vai assumir a convenção usual em que um número normalizado tem forma
com
(ou seja, a parte inteira da mantissa é não nula) e o expoente
varia em
. Nessa convenção a distância entre
e o próximo número representável é
o menor número positivo normalizado é
e o maior número positivo é
Passo 2
Usar o valor de
para achar
e
.
Partimos de
Queremos inteiros
e
que satisfazem isso. Uma forma prática é testar bases pequenas e ver se
bate exatamente com o número fornecido (os dados costumam ser números exatos gerados por potências inteiras).
Verificando
:
Se escolhermos
(ou seja,
), obtemos
Calculando
:
logo
que coincide com o
dado (os algarismos batem com o valor fornecido). Portanto a escolha inteira exata é
Comentário didático curto: foi usado aqui o fato de que
é uma potência inteira negativa de
; reconhecer que
dá exatamente o número fornecido, o que identifica
e
de forma única.
Passo 3
Determinar o menor expoente
a partir do menor número positivo.
Na convenção adotada o menor número positivo normalizado é
Igualamos isso ao valor dado:
Com
temos
Reconhecemos que
é um candidato: calculemos
para confirmar:
Logo
que é exatamente o valor fornecido (os dígitos conferem). Portanto
e o menor expoente pedido é
.
Didática: para encontrar
basta reconhecer o número dado como uma potência negativa exata de
. Calcular potências sucessivas de
(ou usar logaritmo) permite identificar o inteiro.
Passo 4
Determinar o maior expoente
a partir do maior número positivo.
Na convenção adotada o maior número positivo é
Substituindo
e
(logo
) obtemos
Uma forma útil de manipular é escrever
Queremos que isso seja igual ao número fornecido
. Vamos testar
. Calculemos:
e
então
Esse valor, em notação científica, é
. O enunciado deu
(truncado/arreondado a seis dígitos), logo os valores são compatíveis: o maior número exato do SPF com
é
, que corresponde ao valor informado. Logo
Didática: testar
inteiro próximo da ordem de grandeza indicada (aqui
) e usar identidades com potências de
permite encontrar o expoente exato; note que
, que facilita o cálculo quando os expoentes são inteiros.
Passo 5
Resumo das verificações (checando consistência):
- Encontramos
e a partir de . - Verificámos que o menor número é
, logo . - Verificámos que o maior número é
, logo .