Resolvar usando Gauss:
[
x+2 y+3 z+w=8
2 x+3 y+5 z+2 w=13
4 x+y+6 z+3 w=24
5 x+2 y+3 z+w=20
]

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear abaixo (encontre x,y,z,w\)): \[\begin{cases} x+2y+3z+w=8,\\[4pt] 2x+3y+5z+2w=13,\\[4pt] 4x+y+6z+3w=24,\\[4pt] 5x+2y+3z+w=20. \end{cases}
Informações dadas: as quatro equações e quatro incógnitas (x,y,z,w]. Queremos os valores numéricos que satisfazem todas as quatro equações simultaneamente.]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema e aplicar eliminação de Gauss (operações linha equivalentes ao sistema original). A matriz aumentada é
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 & 8\\[3pt] 2 & 3 & 5 & 2 & 13\\[3pt] 4 & 1 & 6 & 3 & 24\\[3pt] 5 & 2 & 3 & 1 & 20 \end{array}\right).
Lembrete rápido sobre operações permitidas (são operações elementares que não mudam as soluções):
  • trocar duas linhas,
  • multiplicar uma linha por constante não nula,
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Usarei essas operações para triangularizar a matriz.]

Passo 3

Eliminação usando a primeira linha como pivô (zerar as entradas abaixo do primeiro pivô):
Aplicamos
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-4R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-5R_1.
Calculemos cada linha:
R_2: (2,3,5,2\mid13)-2(1,2,3,1\mid8)=(0,-1,-1,0\mid-3).
R_3: (4,1,6,3\mid24)-4(1,2,3,1\mid8)=(0,-7,-6,-1\mid-8).
R_4: (5,2,3,1\mid20)-5(1,2,3,1\mid8)=(0,-8,-12,-4\mid-20).
Nova matriz:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 & 8\\[3pt] 0 & -1 & -1 & 0 & -3\\[3pt] 0 & -7 & -6 & -1 & -8\\[3pt] 0 & -8 & -12 & -4 & -20 \end{array}\right).]

Passo 4

Tornar o pivô da segunda linha igual a 1 (facilita contas): multiplico a segunda linha por -1:
R_2\leftarrow -R_2 \implies R_2=(0,1,1,0\mid3).
Matriz agora:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 & 8\\[3pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 3\\[3pt] 0 & -7 & -6 & -1 & -8\\[3pt] 0 & -8 & -12 & -4 & -20 \end{array}\right).]

Passo 5

Eliminar as entradas abaixo do pivô da coluna 2 usando R_2:
Aplicamos
R_3\leftarrow R_3+7R_2,\qquad R_4\leftarrow R_4+8R_2.
Calculemos:
R_3: (0,-7,-6,-1\mid-8)+7(0,1,1,0\mid3)=(0,0,1,-1\mid13).
R_4: (0,-8,-12,-4\mid-20)+8(0,1,1,0\mid3)=(0,0,-4,-4\mid4).
Nova matriz:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 & 8\\[3pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 3\\[3pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 13\\[3pt] 0 & 0 & -4 & -4 & 4 \end{array}\right).]

Passo 6

Usar o pivô da terceira linha (coluna 3 já tem 1) para zerar abaixo:
Aplicamos
R_4\leftarrow R_4+4R_3.
Calculemos:
R_4: (0,0,-4,-4\mid4)+4(0,0,1,-1\mid13)=(0,0,0,-8\mid56).
Matriz triangular superior:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 & 8\\[3pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 3\\[3pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 13\\[3pt] 0 & 0 & 0 & -8 & 56 \end{array}\right).]

Passo 7

Escalonar a quarta linha para obter o pivô igual a 1: divido a linha por -8:
R_4\leftarrow \frac{1}{-8}R_4 \implies R_4=(0,0,0,1\mid-7).
Agora a matriz está em forma triangular com pivôs 1 nas colunas principais:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 & 8\\[3pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 3\\[3pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 13\\[3pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -7 \end{array}\right).]

Passo 8

Substituição regressiva (back-substitution). Das últimas linhas retiramos as equações correspondentes:
Da linha 4: \;w=-7.
Da linha 3: \;z - w = 13. Substituindo w=-7,
z - (-7)=13 \implies z+7=13 \implies z=6.
Da linha 2: \;y + z = 3. Substituindo z=6,
y+6=3 \implies y=-3.
Da linha 1: \;x+2y+3z+w=8. Substituindo y=-3,\\ z=6,\\ w=-7,
x+2(-3)+3(6)+(-7)=8.
Calcule passo a passo:
2(-3)=-6,\quad 3(6)=18. Então
x-6+18-7=8 \implies x+5=8 \implies x=3.

Resposta

x=3
y=-3
z=6
w=-7

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