Resolvar usando Gauss:
[
x+2 y+3 z+w=8
2 x+3 y+5 z+2 w=13
4 x+y+6 z+3 w=24
5 x+2 y+3 z+w=20
]
[
x+2 y+3 z+w=8
2 x+3 y+5 z+2 w=13
4 x+y+6 z+3 w=24
5 x+2 y+3 z+w=20
]
Passo 1
O enunciado pede resolver o sistema linear abaixo (encontre
Informações dadas: as quatro equações e quatro incógnitas (x,y,z,w]. Queremos os valores numéricos que satisfazem todas as quatro equações simultaneamente.]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema e aplicar eliminação de Gauss (operações linha equivalentes ao sistema original). A matriz aumentada é
Lembrete rápido sobre operações permitidas (são operações elementares que não mudam as soluções):
- trocar duas linhas,
- multiplicar uma linha por constante não nula,
- somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Usarei essas operações para triangularizar a matriz.]
Passo 3
Eliminação usando a primeira linha como pivô (zerar as entradas abaixo do primeiro pivô):
Aplicamos
Aplicamos
Calculemos cada linha:
Nova matriz:
Nova matriz:
Passo 4
Tornar o pivô da segunda linha igual a
(facilita contas): multiplico a segunda linha por
:
Matriz agora:
Passo 5
Eliminar as entradas abaixo do pivô da coluna
usando
:
Aplicamos
Aplicamos
Calculemos:
Nova matriz:
Nova matriz:
Passo 6
Usar o pivô da terceira linha (coluna
já tem
) para zerar abaixo:
Aplicamos
Aplicamos
Calculemos:
Matriz triangular superior:
Matriz triangular superior:
Passo 7
Escalonar a quarta linha para obter o pivô igual a
: divido a linha por
:
Agora a matriz está em forma triangular com pivôs
nas colunas principais:
Passo 8
Substituição regressiva (back-substitution). Das últimas linhas retiramos as equações correspondentes:
Da linha 4:
Da linha 4:
Da linha 3:
Substituindo
,
Da linha 2:
Substituindo
,
Da linha 1:
Substituindo
,
Calcule passo a passo:
Então