Questão 1
Nesta questão, utilize 3 casas decimais de precisão.
Considere os pontos:
1
4
9
16
0
1
4
8
Considere a função de regressão
cujo parâmetro
foi ajustado pelo método dos quadrados mínimos com os pontos dados.
Qual o valor de
?
Qual o valor de
?
Dica: o valor de
está no intervalo
e o valor de
está no intervalo
.
Considere os pontos:
|
|
1 | 4 | 9 | 16 |
|
|
0 | 1 | 4 | 8 |
Qual o valor de
Qual o valor de
Passo 1
O enunciado dá quatro pares
e pede duas coisas: o coeficiente
do ajuste da função
pelo método dos quadrados mínimos, e o valor de
. Os pontos fornecidos são:
As perguntas explícitas são:
Passo 2
Vamos escrever o critério de mínimos quadrados para ajustar
. Definimos a soma dos quadrados dos resíduos como
onde
são os dados. Para encontrar o
que minimiza
derivamos
em relação a
e igualamos a zero (condição de ótimo):
Isso leva à fórmula fechada
Aqui cada termo significa:
-
é a raiz quadrada do -ésimo ; -
é a soma dos produtos vezes ; -
é a soma dos quadrados das raízes, que equivale a (porque ).
Passo 3
Calculemos as quantidades necessárias usando os pontos dados. Primeiro as raízes:
Agora a soma no numerador:
Calculando termo a termo:
Somando:
O denominador é a soma dos
:
Passo 4
Usando a fórmula do Passo 2,
Calculando em decimal e arredondando para três casas decimais:
Passo 5
Agora calculamos
. Podemos usar a expressão exata:
Para obter valor numérico, precisamos de
. Uma estimativa rápida usando que
e expansão linear dá
. Usando esse valor:
Passo 6
Multiplicando:
e dividindo por
:
Arredondando para três casas decimais: