Questão 1

Nesta questão, utilize 3 casas decimais de precisão.
Considere os pontos:
x 1 4 9 16
y 0 1 4 8
Considere a função de regressão u(x)=b \sqrt{x} cujo parâmetro b foi ajustado pelo método dos quadrados mínimos com os pontos dados.
Qual o valor de b ? \square
Qual o valor de u(26) ? \square
Dica: o valor de b está no intervalo [1,5 ; 1,7] e o valor de u está no intervalo [7,5 ; 9,0].

Passo 1

O enunciado dá quatro pares (x,y) e pede duas coisas: o coeficiente b do ajuste da função u(x)=b\sqrt{x} pelo método dos quadrados mínimos, e o valor de u(26). Os pontos fornecidos são:
(x,y) = (1,0),\\ (4,1),\\ (9,4),\\ (16,8).
As perguntas explícitas são:
\text{(i) Qual o valor de }b\;? \qquad\text{(ii) Qual o valor de }u(26)\;?

Passo 2

Vamos escrever o critério de mínimos quadrados para ajustar u(x)=b\sqrt{x}. Definimos a soma dos quadrados dos resíduos como
S(b)=\sum_{i=1}^{4}\bigl(y_i - b\sqrt{x_i}\bigr)^{2},
onde x_i,y_i são os dados. Para encontrar o b que minimiza S(b) derivamos S(b) em relação a b e igualamos a zero (condição de ótimo):
\frac{dS}{db} = -2\sum_{i=1}^{4} y_i\sqrt{x_i} + 2b\sum_{i=1}^{4} \bigl(\sqrt{x_i}\bigr)^{2} = 0.
Isso leva à fórmula fechada
b = \frac{\sum_{i=1}^{4} y_i\sqrt{x_i}}{\sum_{i=1}^{4} \bigl(\sqrt{x_i}\bigr)^{2}}.
Aqui cada termo significa:
  • \sqrt{x_i} é a raiz quadrada do i-ésimo x;
  • \sum y_i\sqrt{x_i} é a soma dos produtos y_i vezes \sqrt{x_i};
  • \sum (\sqrt{x_i})^2 é a soma dos quadrados das raízes, que equivale a \sum x_i (porque (\sqrt{x_i})^2 = x_i).

Passo 3

Calculemos as quantidades necessárias usando os pontos dados. Primeiro as raízes:
\sqrt{1}=1,\quad \sqrt{4}=2,\quad \sqrt{9}=3,\quad \sqrt{16}=4.
Agora a soma no numerador:
\sum_{i=1}^{4} y_i\sqrt{x_i} = 0\cdot 1 + 1\cdot 2 + 4\cdot 3 + 8\cdot 4.
Calculando termo a termo:
0\cdot 1 = 0,\quad 1\cdot 2 = 2,\quad 4\cdot 3 = 12,\quad 8\cdot 4 = 32.
Somando:
\sum_{i=1}^{4} y_i\sqrt{x_i} = 0 + 2 + 12 + 32 = 46.
O denominador é a soma dos x_i:
\sum_{i=1}^{4} x_i = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Passo 4

Usando a fórmula do Passo 2,
b = \frac{46}{30} = \frac{23}{15}.
Calculando em decimal e arredondando para três casas decimais:
b \approx 1{,}533\quad(\text{três casas decimais}).ê

Passo 5

Agora calculamos u(26)=b\sqrt{26}. Podemos usar a expressão exata:
u(26)=\frac{23}{15}\sqrt{26}.
Para obter valor numérico, precisamos de \sqrt{26}. Uma estimativa rápida usando que \sqrt{25}=5 e expansão linear dá \sqrt{26}\approx 5{,}0990195. Usando esse valor:
u(26)\approx \frac{23}{15}\times 5{,}0990195.

Passo 6

Multiplicando:
23\times 5{,}0990195 \approx 117{,}2774485,
e dividindo por 15:
u(26)\approx \frac{117{,}2774485}{15} \approx 7{,}8184966.
Arredondando para três casas decimais:
u(26) \approx 7{,}818.

Resposta

b = 1{,}533
u(26) = 7{,}818

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