QUESTÃO 25

Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 8 e quarto termo igual a 1. A soma dos infinitos termos dessa progressão é igual a :
(A) 256
(B) 128
© 64
(D) 32
(E) 16

Passo 1

Tranquilo, vamos desenrolar isso juntos. O enunciado diz que temos uma progressão geométrica (PG) cujo primeiro termo vale e o quarto termo vale . A matéria é PG, mais especificamente saber achar a razão e usar a fórmula da soma infinita. Para resolver, precisamos:
  1. Usar a relação do -ésimo termo da PG, que é .
  2. Verificar se a razão faz , condição pra soma infinita existir.
  3. Aplicar a fórmula da soma infinita: .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a razão a4 = a1 cdot r^4-1 = 8 cdot r^3 . A fórmula do quarto termo é
8 cdot r^3 = 1 Longrightarrow r^3 = 18
Mas o enunciado diz que r = raiz[3]tfrac18 = tfrac12 . Então:
Pra achar , tiramos a raiz cúbica:

Passo 3

Agora que temos Sinfty = a11 - r , confere se Sinfty = 81 - tfrac12 = 8tfrac12 = 8 times 2 = 16 . Aqui , então a soma infinita converge. A fórmula da soma de todos os termos a partir do primeiro é
Substituindo e :

Resposta

A soma dos infinitos termos dessa progressão é 16.

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