Questão 27

Na sequência formada pelos vinte primeiros múltiplos comuns positivos de 3 e de 5, organizados em ordem crescente, o oitavo termo é
(A) 45 .
(B) 90 .
(C) 120.
(D) 165 .
(E) 150 .

Passo 1

O enunciado diz: temos a sequência formada pelos vinte primeiros múltiplos comuns positivos de 3 e de 5, organizados em ordem crescente, e pede qual é o oitavo termo dessa sequência. Informações relevantes fornecidas:
\text{— múltiplos comuns positivos de }3\text{ e }5;ú
\text{— são os primeiros }20\text{ desses múltiplos, em ordem crescente;}ãú
\text{— queremos o }8\text{-º termo dessa sequência.}ºê

Passo 2

Entender o que são “múltiplos comuns”: um número é múltiplo comum de 3 e 5 se for múltiplo de 3 e também múltiplo de 5. Para achar todos os múltiplos comuns, usamos o mínimo múltiplo comum (MMC) de 3 e 5, porque todo múltiplo comum é múltiplo do MMC. Uma fórmula prática para o MMC é
\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\gcd(a,b)},
onde \gcd(a,b) é o máximo divisor comum de a e b. Aqui \gcd(3,5)=1 (porque 3 e 5 são primos entre si), então
\operatorname{lcm}(3,5)=\frac{3\cdot5}{1}=15.
Logo, os múltiplos comuns de 3 e 5 são exatamente os múltiplos de 15.

Passo 3

Então a sequência pedida é a sequência dos múltiplos de 15, em ordem crescente:
15,\;30,\;45,\;60,\;75,\;90,\;105,\;120,\ldots
Essa sequência é uma progressão aritmética (PA) com primeiro termo a_1=15 e razão d=15. A fórmula geral do n-ésimo termo de uma PA é
a_n = a_1 + (n-1)\,d,
onde a_n é o termo pedido, a_1 é o primeiro termo, d é a razão e n é a posição do termo.

Passo 4

Aplicando a fórmula para n=8:
a_8 = 15 + (8-1)\cdot 15.
Calcule passo a passo:
8-1=7,
7\cdot 15 = 105,
15 + 105 = 120.
Também dá para ver direto que o k-ésimo múltiplo de 15 vale 15\cdot k, então para k=8 obtemos 15\cdot 8 = 120.

Passo 5

Confere com a lista de opções do enunciado (os números nas alternativas são \,45,\,90,\,120,\,165,\,150), e o valor que encontramos está entre essas opções.

Resposta

120

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