Questão 25

No sistema de coordenadas ortogonais x \mathrm{O} y, com unidade de comprimento em metros, uma circunferência tem centro no ponto \mathrm{C}=(2,1) e passa pelo ponto \mathrm{P}=(1,1). Nesse caso, utilizando \pi=3,14, o círculo limitado por essa circunferência tem área igual a
(A) 3,14 \mathrm{~m}^{2}.
(D) 5,25 \mathrm{~m}^{2}.
B 7,32 \mathrm{~m}^{2}.
C 4,18 \mathrm{~m}^{2}.
E 6,28 \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a área do círculo cuja circunferência tem centro no ponto C=(2,1) e passa pelo ponto P=(1,1). As informações relevantes fornecidas são:
  • Centro da circunferência: C=(2,1).
  • Um ponto da circunferência: P=(1,1).
  • Usar \pi=3,14.
  • Unidade de comprimento em metros, portanto a área deverá ficar em metros quadrados.

Passo 2

Identificar o que falta para calcular a área do círculo: precisamos do raio r. O raio é a distância entre o centro C e qualquer ponto da circunferência (aqui o ponto P). Para calcular distância entre dois pontos no plano usaremos a fórmula da distância entre pontos. A fórmula é:
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},
onde (x_1,y_1) e (x_2,y_2) são as coordenadas dos dois pontos. Aqui d será o nosso raio r.

Passo 3

Aplicando a fórmula da distância aos pontos C=(2,1) e P=(1,1):
r=\sqrt{(1-2)^2+(1-1)^2}.
Agora calculemos os termos dentro da raiz:
(1-2)^2=(-1)^2=1,
(1-1)^2=0^2=0.
Portanto
r=\sqrt{1+0}=\sqrt{1}=1.
Conclusão desta etapa: o raio é r=1 metro.

Passo 4

Agora precisamos da fórmula da área de um círculo. A fórmula é muito simples e essencial:
A=\pi r^2,
onde A é a área do círculo, \pi é a constante (aqui nos pedem para usar \pi=3,14) e r é o raio (em metros). Vou lembrar: r^2 significa “raio ao quadrado”, ou seja r multiplicado por r.

Passo 5

Substituímos os valores conhecidos na fórmula da área. Temos r=1 e \pi=3,14, então
A=3,14 \times 1^2.
Calcule o quadrado do raio:
1^2=1.
Então
A=3,14 \times 1 = 3,14.
Como estamos em metros, a unidade da área é metros quadrados, logo A=3,14\\ \mathrm{m}^2.

Passo 6

Pequena verificação e dica para a prova: sempre confirme que o raio está em metros antes de aplicar \pi r^2. Se o ponto dado tivesse, por exemplo, sido P=(2,2), a diferença vertical teria sido 1 e o raio seria novamente 1. Se o ponto fosse P=(0,1), o raio teria sido |0-2|=2 e a área seria 3,14\times 2^2=3,14\times 4=12,56\\ \mathrm{m}^2. Esses exemplos ajudam a fixar o procedimento: (1) calcular distância centro–ponto para achar r, (2) aplicar A=\pi r^2 com a \pi dada.

Resposta

3,14\\ \mathrm{m}^2

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