Questão 34

Se a média aritmética de 23 números inteiros não negativos diferentes é 167, então, nessas condições, o maior valor que um desses números pode assumir é
\begin{tabular}{ll}
(A) & 3.841.
(B) & 3.335.
(C) & 3.588.
(D) & 3.379.
(E) & 3.610.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Temos 23 números inteiros, não negativos e todos diferentes entre si.
  • A média aritmética desses 23 números é 167.
  • Pergunta: qual é, nessas condições, o maior valor que um desses números pode assumir?

Passo 2

Converter a média em soma total: a média aritmética de n números é a soma dos números dividida por n. Logo, se a média de 23 números é 167, a soma total S desses números é
S = 23 \cdot 167.
Agora calculamos 23\cdot 167. Podemos fazer por partes: 20\cdot167=3340 e 3\cdot167=501. Somando,
S = 3340 + 501 = 3841.

Passo 3

Estratégia para maximizar um dos números: para tornar um número o mais grande possível, devemos tornar a soma dos outros 22 números o mais pequena possível, respeitando as condições (inteiros, não negativos, todos diferentes). Então precisamos escolher os 22 menores inteiros não negativos distintos possíveis.

Passo 4

Quais são os 22 menores inteiros não negativos distintos? São
0,1,2,\dots,21.
Isso porque começamos em 0 (pois é permitido não negativo) e pegamos os primeiros 22 inteiros distintos.

Passo 5

Calcular a soma dos 22 menores inteiros não negativos: a soma dos inteiros de 0 até 21 é a mesma que a soma dos inteiros de 1 até 21 (já que incluir 0 não altera) e essa soma pode ser obtida pela fórmula da soma dos primeiros m inteiros:
1+2+\dots+m = \frac{m(m+1)}{2}.
Aqui m=21, então
\text{soma dos }0\text{ a }21 = \frac{21\cdot 22}{2}.
Calculando: 21\cdot22=462 e 462/2=231. Portanto a soma mínima possível dos 22 outros números é 231.

Passo 6

Com a soma total S=3841 e a soma mínima dos 22 outros sendo 231, o maior possível para o número restante (o que queremos maximizar) é
\text{máximo} = S - 231 = 3841 - 231.á
Fazendo a subtração: 3841-200=3641 e 3641-31=3610. Então o maior valor possível é 3610.

Passo 7

Verificação rápida de consistência: os 22 números escolhidos eram 0,1,\dots,21 e o 23^\text{o} número é 3610. Todos são inteiros não negativos e distintos, e sua soma é 231+3610=3841, cuja média é 3841/23=167. Não é possível obter um valor maior que 3610 para o maior número, pois já minimizamos os outros 22 números; aumentar o maior exigiria diminuir algum outro abaixo do mínimo permitido.

Resposta

3610

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