Questão 34
Se a média aritmética de 23 números inteiros não negativos diferentes é 167, então, nessas condições, o maior valor que um desses números pode assumir é
\begin{tabular}{ll}
(A) & 3.841.
(B) & 3.335.
(C) & 3.588.
(D) & 3.379.
(E) & 3.610.
(A) & 3.841.
(B) & 3.335.
(C) & 3.588.
(D) & 3.379.
(E) & 3.610.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Temos
números inteiros, não negativos e todos diferentes entre si. - A média aritmética desses
números é . - Pergunta: qual é, nessas condições, o maior valor que um desses números pode assumir?
Passo 2
Converter a média em soma total: a média aritmética de
números é a soma dos números dividida por
. Logo, se a média de
números é
, a soma total
desses números é
Agora calculamos
. Podemos fazer por partes:
e
. Somando,
Passo 3
Estratégia para maximizar um dos números: para tornar um número o mais grande possível, devemos tornar a soma dos outros
números o mais pequena possível, respeitando as condições (inteiros, não negativos, todos diferentes). Então precisamos escolher os
menores inteiros não negativos distintos possíveis.
Passo 4
Quais são os
menores inteiros não negativos distintos? São
Isso porque começamos em
(pois é permitido não negativo) e pegamos os primeiros
inteiros distintos.
Passo 5
Calcular a soma dos
menores inteiros não negativos: a soma dos inteiros de
até
é a mesma que a soma dos inteiros de
até
(já que incluir
não altera) e essa soma pode ser obtida pela fórmula da soma dos primeiros
inteiros:
Aqui
, então
Calculando:
e
. Portanto a soma mínima possível dos
outros números é
.
Passo 6
Com a soma total
e a soma mínima dos
outros sendo
, o maior possível para o número restante (o que queremos maximizar) é
Fazendo a subtração:
e
. Então o maior valor possível é
.
Passo 7
Verificação rápida de consistência: os
números escolhidos eram
e o
número é
. Todos são inteiros não negativos e distintos, e sua soma é
, cuja média é
. Não é possível obter um valor maior que
para o maior número, pois já minimizamos os outros
números; aumentar o maior exigiria diminuir algum outro abaixo do mínimo permitido.