Questão 33
O conjunto de dados
tem variância amostral
e média aritmética
. Se o dado
for incluído nesse conjunto de forma que a média do novo conjunto de dados permaneça inalterada, assinale a opção que apresenta a variância
do novo conjunto de dados.
(4)
(B)
(D)
(c)
(e)
(4)
(B)
(D)
(c)
(e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dados iniciais: temos
com média aritmética e variância . - Ação: inclui-se um novo dado
de modo que a média do novo conjunto de observações permaneça igual a . - Pergunta: qual é a variância
do novo conjunto de dados?
Esses são todos os dados relevantes do enunciado; a resolução começa agora.
Passo 2
A primeira coisa é usar a condição “a média permanece inalterada” para encontrar
.
A soma dos
primeiros dados é
. Para a nova amostra de tamanho
ter média
devemos ter:
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Ou seja: o novo dado é exatamente igual à média original, logo sua contribuição à variabilidade é zero.
Passo 3
Agora vamos lembrar a definição de variância que vamos usar aqui (é a definição média dos quadrados das diferenças em relação à média, com denominador
no conjunto original, que é a interpretação adequada para este tipo de exercício e consistente com as alternativas).
A variância original
é
Explicando as letras:
é a variância dada;
é o número de observações iniciais;
é a média; o somatório soma os quadrados das diferenças de cada
para a média.
Passo 4
Para simplificar os cálculos, defina a soma dos quadrados das diferenças no conjunto original:
Pela definição de
temos
Passo 5
No novo conjunto de
dados a média continua sendo
. As diferenças para os primeiros
dados não mudam, e a diferença para o novo dado é
Portanto a soma dos quadrados das diferenças no novo conjunto é
Passo 6
A variância do novo conjunto (com
observações) é a média desses quadrados, isto é
Substituindo
e
obtemos
Reescrevendo
fica
Passo 7
Checagem numérica rápida para ganhar confiança: seja
e
. A média é
e
Incluindo
(igual à média), a nova variância é
que é
, consistente com a fórmula encontrada.