Questão 33

O conjunto de dados x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} tem variância amostral \sigma^{2} e média aritmética \bar{x}. Se o dado x_{n+1} for incluído nesse conjunto de forma que a média do novo conjunto de dados permaneça inalterada, assinale a opção que apresenta a variância s^{2} do novo conjunto de dados.
(4) s^{2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2} \sigma^{2}
(B) s^{2}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \sigma^{2}
(D) s^{2}=\left(1-\frac{1}{n}\right) \sigma^{2}
(c) s^{2}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right) \sigma^{2}
(e) s^{2}=\left(1+\frac{1}{n}\right) \sigma^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados iniciais: temos x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} com média aritmética \bar{x} e variância \sigma^{2}.
  • Ação: inclui-se um novo dado x_{n+1} de modo que a média do novo conjunto de n+1 observações permaneça igual a \bar{x}.
  • Pergunta: qual é a variância s^{2} do novo conjunto de n+1 dados?
Esses são todos os dados relevantes do enunciado; a resolução começa agora.

Passo 2

A primeira coisa é usar a condição “a média permanece inalterada” para encontrar x_{n+1}.
A soma dos n primeiros dados é n\bar{x}. Para a nova amostra de tamanho n+1 ter média \bar{x} devemos ter:
n\bar{x}+x_{n+1}=(n+1)\bar{x}.
Subtraindo n\bar{x} dos dois lados obtemos
x_{n+1}=\bar{x}.
Ou seja: o novo dado é exatamente igual à média original, logo sua contribuição à variabilidade é zero.

Passo 3

Agora vamos lembrar a definição de variância que vamos usar aqui (é a definição média dos quadrados das diferenças em relação à média, com denominador n no conjunto original, que é a interpretação adequada para este tipo de exercício e consistente com as alternativas).
A variância original \sigma^{2} é
\sigma^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\bar{x}\bigr)^{2}.
Explicando as letras: \sigma^{2} é a variância dada; n é o número de observações iniciais; \bar{x} é a média; o somatório soma os quadrados das diferenças de cada x_i para a média.

Passo 4

Para simplificar os cálculos, defina a soma dos quadrados das diferenças no conjunto original:
S=\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\bar{x}\bigr)^{2}.
Pela definição de \sigma^{2} temos
S = n\,\sigma^{2}.

Passo 5

No novo conjunto de n+1 dados a média continua sendo \bar{x}. As diferenças para os primeiros n dados não mudam, e a diferença para o novo dado é
x_{n+1}-\bar{x}=\bar{x}-\bar{x}=0.
Portanto a soma dos quadrados das diferenças no novo conjunto é
S'=\sum_{i=1}^{n+1}\bigl(x_{i}-\bar{x}\bigr)^{2}=S+0=S.

Passo 6

A variância do novo conjunto (com n+1 observações) é a média desses quadrados, isto é
s^{2}=\frac{1}{n+1}S'.
Substituindo S'=S e S=n\sigma^{2} obtemos
s^{2}=\frac{1}{n+1}\,n\,\sigma^{2}=\frac{n}{\,n+1\,}\sigma^{2}.
Reescrevendo \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1} fica
s^{2}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\sigma^{2}.

Passo 7

Checagem numérica rápida para ganhar confiança: seja n=2 e x_{1}=1,\;x_{2}=3. A média é \bar{x}=2 e
\sigma^{2}=\frac{(1-2)^{2}+(3-2)^{2}}{2}=\frac{1+1}{2}=1.
Incluindo x_{3}=2 (igual à média), a nova variância é
s^{2}=\frac{1+1+0}{3}=\frac{2}{3},
que é \left(1-\tfrac{1}{3}\right)\cdot 1=\tfrac{2}{3}, consistente com a fórmula encontrada.

Resposta

s^{2}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\sigma^{2}

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