Questão 32

Uma urna contém 12 bolas azuis e 12 bolas vermelhas. Se duas bolas são retiradas aleatoriamente da urna, uma em sequência da outra e sem reposição, a probabilidade de se tirar duas bolas de cores diferentes é igual a
(A) \frac{6}{23}.
(B) \frac{11}{23}.
(C) \frac{12}{23}.
(D) \frac{1}{4}.
(E) \frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado dá que a urna tem 12 bolas azuis e 12 bolas vermelhas, portanto 24 bolas no total. Retiram-se duas bolas, uma após a outra, sem reposição.
A pergunta é: qual é a probabilidade de que as duas bolas retiradas tenham cores diferentes (uma azul e outra vermelha, em qualquer ordem)?

Passo 2

Vamos representar eventos para ficar claro: seja B_1 o evento “primeira bola é azul” e R_2 o evento “segunda bola é vermelha” (analogamente R_1 e B_2).
Usamos a regra do produto para probabilidades condicionais: para dois eventos A e C,
P(A\cap C)=P(A)\,P(C\mid A),
onde P(C\mid A) é a probabilidade de C ocorrer dado que A já ocorreu. Aqui isso é importante porque não há reposição: a segunda retirada tem probabilidades condicionais que dependem do resultado da primeira.

Passo 3

Calculemos a probabilidade de ocorrer a sequência “azul depois vermelho”, isto é P(B_1\cap R_2). Temos
P(B_1)=\frac{12}{24},
pois há 12 azuis entre 24 bolas no primeiro sorteio. Dado que saiu uma azul, restam 24-1=23 bolas e ainda 12 vermelhas, logo
P(R_2\mid B_1)=\frac{12}{23}.
Aplicando a regra do produto:
P(B_1\cap R_2)=\frac{12}{24}\cdot\frac{12}{23}.
Simplificando \frac{12}{24}=\frac{1}{2}, obtemos
P(B_1\cap R_2)=\frac{1}{2}\cdot\frac{12}{23}=\frac{6}{23}.

Passo 4

Agora calculemos a probabilidade da outra ordem “vermelho depois azul”, P(R_1\cap B_2). Pelo mesmo raciocínio simétrico,
P(R_1)=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}, \qquad P(B_2\mid R_1)=\frac{12}{23},
então
P(R_1\cap B_2)=\frac{1}{2}\cdot\frac{12}{23}=\frac{6}{23}.

Passo 5

Como os dois casos (“azul então vermelho” e “vermelho então azul”) são mutuamente exclusivos e cobrem todas as formas de obter cores diferentes, somamos as probabilidades:
P(\text{cores diferentes})=P(B_1\cap R_2)+P(R_1\cap B_2)=\frac{6}{23}+\frac{6}{23}=\frac{12}{23}.

Passo 6

Vou mostrar um método alternativo (combinatório) — útil para checar o resultado e frequente em provas: o número total de pares de bolas possíveis (sem ordem) é
\binom{24}{2}=\frac{24\cdot23}{2}=276.
O número de pares que têm uma bola azul e uma vermelha é o número de escolhas de uma azul \times uma vermelha, isto é
12\cdot12=144.
Logo a probabilidade é
\frac{144}{276}.
Dividindo numerador e denominador por 12 obtemos
\frac{144}{276}=\frac{12}{23},
o mesmo resultado do método anterior (boa checagem!).

Passo 7

Conclusão final: a probabilidade de tirar duas bolas de cores diferentes, em duas retiradas sem reposição, é \frac{12}{23}. Isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

\frac{12}{23}

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