Questão 32
Uma urna contém 12 bolas azuis e 12 bolas vermelhas. Se duas bolas são retiradas aleatoriamente da urna, uma em sequência da outra e sem reposição, a probabilidade de se tirar duas bolas de cores diferentes é igual a
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá que a urna tem
bolas azuis e
bolas vermelhas, portanto
bolas no total. Retiram-se duas bolas, uma após a outra, sem reposição.
A pergunta é: qual é a probabilidade de que as duas bolas retiradas tenham cores diferentes (uma azul e outra vermelha, em qualquer ordem)?
A pergunta é: qual é a probabilidade de que as duas bolas retiradas tenham cores diferentes (uma azul e outra vermelha, em qualquer ordem)?
Passo 2
Vamos representar eventos para ficar claro: seja
o evento “primeira bola é azul” e
o evento “segunda bola é vermelha” (analogamente
e
).
Usamos a regra do produto para probabilidades condicionais: para dois eventos e
,
Usamos a regra do produto para probabilidades condicionais: para dois eventos
onde
é a probabilidade de
ocorrer dado que
já ocorreu. Aqui isso é importante porque não há reposição: a segunda retirada tem probabilidades condicionais que dependem do resultado da primeira.
Passo 3
Calculemos a probabilidade de ocorrer a sequência “azul depois vermelho”, isto é
. Temos
pois há
azuis entre
bolas no primeiro sorteio. Dado que saiu uma azul, restam
bolas e ainda
vermelhas, logo
Aplicando a regra do produto:
Simplificando
, obtemos
Passo 4
Agora calculemos a probabilidade da outra ordem “vermelho depois azul”,
. Pelo mesmo raciocínio simétrico,
então
Passo 5
Como os dois casos (“azul então vermelho” e “vermelho então azul”) são mutuamente exclusivos e cobrem todas as formas de obter cores diferentes, somamos as probabilidades:
Passo 6
Vou mostrar um método alternativo (combinatório) — útil para checar o resultado e frequente em provas: o número total de pares de bolas possíveis (sem ordem) é
O número de pares que têm uma bola azul e uma vermelha é o número de escolhas de uma azul
uma vermelha, isto é
Logo a probabilidade é
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
o mesmo resultado do método anterior (boa checagem!).
Passo 7
Conclusão final: a probabilidade de tirar duas bolas de cores diferentes, em duas retiradas sem reposição, é
. Isso corresponde à alternativa (C).