Questão 4. Ache a equação da reta tangente a curva f(x)=3 x^2-6 x+1 quando x=2, onde o coeficiente angular da reta tangente a curva, para x=c, é dado por:
m(c)=lim h 0 f(h+c)-f(c)h

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede para a gente achar a reta tangente à curva
f(x)=3x^2-6x+1
no ponto em que . Isso envolve dois conteúdos principais:
  1. Derivada como limite (pra achar o coeficiente angular da reta tangente).
  2. Equação da reta no ponto, usando .
A gente vai precisar:
  • Saber o que é a definição de derivada via limite
  • Calcular esse limite em
  • Montar a equação da reta usando o ponto e o coeficiente que achamos

Passo 2

Vamos usar a definição de derivada:
m(2)=f'(2)=limhto0f(2+h)-f(2)h
  1. Primeiro, calcule f(2+h)=3(2+h)^2-6(2+h)+1 =3(4+4h+h^2)-12-6h+1 =12+12h+3h^2-12-6h+1 =1+6h+3h^2 :
f(2+h)-f(2)h =(1+6h+3h^2)-1h =6h+3h^2h =6+3h
  1. m(2)=limhto0(6+3h)=6
  2. Então o quociente fica
  1. Fazendo , sobra

Passo 3

Agora temos o coeficiente angular y - y0 = m(x - x0) e o ponto de tangência y - 1 = 6,(x - 2) .
A forma ponto-inclinação da reta é
Substituindo:

Passo 4

Só simplificar pra ficar no jeitão y -1 =6x -12 Longrightarrow y=6x-11 :

Resposta

A equação da reta tangente é
boxedy=6x-11

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