Questão 5) Água está escoando em um canal trapezoidal a uma vazão de . A profundidade crítica y para tal canal deve satisfazer a equação
onde é a área da seção transversal , e B é a largura do canal na superfície . Para esse caso, a largura e a área transversal podem ser relacionadas à profundidade y por
Encontre a profundidade crítica usando:
(A) Método gráfico;
(B) Bissecção;
(C) Falsa posição ações iniciais de e , e itere até que o erro aproximado fique abaixo de ou que o número de iterações ultrapasse 10.
Discuta seus resultados.
Passo 1
O enunciado pede a profundidade crítica em canal trapezoidal para a qual vale
com , ,
Este problema é de root finding (achar raiz) de uma função não linear. Vamos: ) montar a função , ) usar método gráfico, ) bissecção, ) falsa posição, ) discutir.
Passo 2
Definimos
A raiz de é a profundidade crítica buscada.
Passo 3
Método gráfico: calculamos alguns pontos :
y,
y,
y,
Como muda de sinal entre (negativo) e (positivo), a raiz gráfica fica perto de
Passo 4
Bissecção em pois , . Iteramos até : ) , . ) , . ) , . ) , . ) , . ) , calcula-se
ainda ligeiramente acima, então vamos mais uma: 7) c7=1,5078125,
varepsilonaapprox0,5%<1%
Logo a bissecção dá
yapprox1,51 m
Passo 5
Falsa posição em [xl,xu]=[0,5,2,5] com f(xl)<0, f(xu)>0. A fórmula é
xr = xu - f(xu) xl - xuf(xl) - f(xu)
Nas primeiras iterações obtém-se 1) xr1 approx 2,4508, varepsilon não calculável; 2) xr2 approx 2,4036, varepsilon approx 1,96%; 3) xr3 approx 2,3583, varepsilon approx 1,82%;
… 10) xr10 approx 2,1063, varepsilon approx 1,43%.
Não atinge varepsilon < 1% em 10 iterações, e o valor está longe da raiz real porque f(xl) domina o método, tornando a convergência muito lenta.
Passo 6
Discussão:
Gráfico e bissecção concordam em approx1,52 m.
A falsa posição com [0,5,2,5] falha em chegar a varepsilon<1% em 10 iterações e dá yapprox2,11 m, muito longe da raiz correta. Isso ocorre pois f(0,5) tem módulo muito grande e impede o método de bracketing eficaz.
Resposta
Profundidade crítica aproximada:
(A) gráfico: y approx 1,52 m
(B) bissecção: y approx 1,51 m (erro < 1% em 7 iterações)
(C) falsa posição: y approx 2,11 m (não convergiu abaixo de 1% em 10 iterações)