Questão 5) Água está escoando em um canal trapezoidal a uma vazão de Q=20 m^3 / s. A profundidade crítica y para tal canal deve satisfazer a equação
0=1-Q^2g cdot Ac^3 cdot B
onde g=9,81 m / s^2, Ac é a área da seção transversal (m^2), e B é a largura do canal na superfície (m). Para esse caso, a largura e a área transversal podem ser relacionadas à profundidade y por
B=3+y e Ac=3 y+y^22
Encontre a profundidade crítica usando:
(A) Método gráfico;
(B) Bissecção;
(C) Falsa posição ações iniciais de xl=0,5 e xu=2,5, e itere até que o erro aproximado fique abaixo de 1 % ou que o número de iterações ultrapasse 10.
Discuta seus resultados.

Passo 1

O enunciado pede a profundidade crítica y em canal trapezoidal para a qual vale
0 ;=; 1 ;-; Q^2g,Ac^3,B
com Q=20 m^3/s, g=9,81 m/s^2,
B=3+y, Ac=3y+y^22
Este problema é de root finding (achar raiz) de uma função não linear. Vamos:
1) montar a função f(y),
2) usar método gráfico,
3) bissecção,
4) falsa posição,
5) discutir.

Passo 2

Definimos
f(y);=;1-Q^2g,[Ac(y)]^3;B(y) ;=;1-4009,81l(3y+y^2/2r)^3,(3+y)
A raiz de f(y)=0 é a profundidade crítica buscada.

Passo 3

Método gráfico: calculamos alguns pontos (y,f(y)):
y =1, f(1)approx1-4009,81cdot3,5^3cdot4=-2,81
y =1,5, f(1,5)approx-0,03
y =1,6, f(1,6)approx+0,17
Como f muda de sinal entre 1,5 (negativo) e 1,6 (positivo), a raiz gráfica fica perto de
yapprox1,52 m

Passo 4

Bissecção em [a,b]=[1,2] pois f(1)<0, f(2)>0. Iteramos até varepsilona<1%:
1) c1=1,5, f(c1)<0 Rightarrow[a,b]=[1,5,2].
2) c2=1,75, f(c2)>0 Rightarrow[a,b]=[1,5,1,75].
3) c3=1,625, f(c3)>0 Rightarrow[a,b]=[1,5,1,625].
4) c4=1,5625, f(c4)>0 Rightarrow[a,b]=[1,5,1,5625].
5) c5=1,53125, f(c5)>0 Rightarrow[a,b]=[1,5,1,53125].
6) c6=1,515625, calcula-se
varepsilona=l|1,515625-1,531251,515625r|times100%approx1,0%,
ainda ligeiramente acima, então vamos mais uma:
7) c7=1,5078125,
varepsilonaapprox0,5%<1%
Logo a bissecção dá
yapprox1,51 m

Passo 5

Falsa posição em [xl,xu]=[0,5,2,5] com f(xl)<0, f(xu)>0. A fórmula é
xr = xu - f(xu) xl - xuf(xl) - f(xu)
Nas primeiras iterações obtém-se
1) xr1 approx 2,4508, varepsilon não calculável;
2) xr2 approx 2,4036, varepsilon approx 1,96%; 3) xr3 approx 2,3583, varepsilon approx 1,82%;

10) xr10 approx 2,1063, varepsilon approx 1,43%.
Não atinge varepsilon < 1% em 10 iterações, e o valor está longe da raiz real porque f(xl) domina o método, tornando a convergência muito lenta.

Passo 6

Discussão:
  • Gráfico e bissecção concordam em approx1,52 m.
  • A falsa posição com [0,5,2,5] falha em chegar a varepsilon<1% em 10 iterações e dá yapprox2,11 m, muito longe da raiz correta. Isso ocorre pois f(0,5) tem módulo muito grande e impede o método de bracketing eficaz.

Resposta

Profundidade crítica aproximada:
(A) gráfico: y approx 1,52 m
(B) bissecção: y approx 1,51 m (erro < 1% em 7 iterações)
(C) falsa posição: y approx 2,11 m (não convergiu abaixo de 1% em 10 iterações)

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