1{ }^{\text {a }} questão: Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
\text { x } 02468
\begin{array}{llllll} y & 3 & 4 & 8 & 11 & 15 \end{array}
(a) y=1,5 x+2
(b) y=2 x+1
(c) y=1,8 x+1
(d) y=1,2 x+3
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela?” — ou seja, dentre as opções dadas, qual equação linear aproxima melhor os pontos dados. Os dados fornecidos são os pares (x,y) abaixo:
(0,3),\\ (2,4),\\ (4,8),\\ (6,11),\\ (8,15).
Não vou resolver nada ainda, só listei os pontos e o que é pedido.

Passo 2

Vamos escolher a reta de ajuste pelo método dos mínimos quadrados (o procedimento padrão para “melhor ajusta” em problemas desse tipo). Antes de aplicar as fórmulas, calculamos algumas somas úteis. Primeiro o número de pontos:
n = 5.
Agora as somas:
\sum x = 0+2+4+6+8 = 20,
\sum y = 3+4+8+11+15 = 41,
\sum x^2 = 0^2+2^2+4^2+6^2+8^2 = 0+4+16+36+64 = 120,
\sum xy = 0\cdot3 + 2\cdot4 + 4\cdot8 + 6\cdot11 + 8\cdot15 = 0+8+32+66+120 = 226.

Passo 3

Explico as fórmulas que vamos usar (aula rápida): queremos a reta
y = \beta_0 + \beta_1 x,
onde \beta_1 é a inclinação (coeficiente angular) e \beta_0 é o intercepto (coeficiente linear). As fórmulas dos mínimos quadrados são:
\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x},
com
S_{xy} = \sum x y - n\bar{x}\bar{y}, \qquad S_{xx} = \sum x^2 - n\bar{x}^2,
e as médias
\bar{x} = \frac{\sum x}{n},\qquad \bar{y} = \frac{\sum y}{n}.
O que essas quantidades significam? \bar{x} e \bar{y} são as médias dos pontos; S_{xx} mede a variação de x em torno da média; S_{xy} mede como x e y variam conjuntamente. A inclinação \beta_1 é a razão entre a covariação e a variância de x.

Passo 4

Calculemos as médias:
\bar{x} = \frac{20}{5} = 4, \qquad \bar{y} = \frac{41}{5} = 8,2.

Passo 5

Agora calculamos S_{xy} e S_{xx} usando as somas do Passo 2:
S_{xy} = \sum xy - n\bar{x}\bar{y} = 226 - 5\cdot 4 \cdot 8,2 = 226 - 164 = 62,
S_{xx} = \sum x^2 - n\bar{x}^2 = 120 - 5\cdot 4^2 = 120 - 80 = 40.
Expliquei: subtraímos a parte “devida às médias” para obter a variação centrada.

Passo 6

Agora a inclinação e o intercepto:
\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{62}{40} = 1,55,
\beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} = 8,2 - 1,55\cdot 4 = 8,2 - 6,2 = 2.
Interpretação simples: a reta de mínimos quadrados encontrada é
y = 1,55x + 2.

Passo 7

Comparando com as opções do enunciado:
(a) \;y=1,5x+2
(b) \;y=2x+1
(c) \;y=1,8x+1
(d) \;y=1,2x+3
Nossa reta exata de mínimos quadrados é \;y=1,55x+2. Nenhuma opção coincide exatamente com \;1,55 na inclinação, mas a opção (a) tem a mesma intercepto \;2 e uma inclinação muito próxima ( 1,5 em vez de 1,55). As outras opções estão claramente mais distantes. Portanto, a opção que melhor representa a reta de ajuste entre as alternativas dadas é a (a) (a inclinação foi arredondada para 1,5 na opção).

Resposta

(a) \;y=1,5x+2

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