Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
x 1 2 3 4 5
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não sei
x 1 2 3 4 5
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado pergunta qual reta “melhor ajusta” os pontos da tabela. Os pontos dados são:
.
A tarefa é escolher, entre as alternativas (a)–(d), a reta que melhor ajusta esses pontos (ou dizer que não sei). Vou usar os dados acima sem pedir nada a mais.
A tarefa é escolher, entre as alternativas (a)–(d), a reta que melhor ajusta esses pontos (ou dizer que não sei). Vou usar os dados acima sem pedir nada a mais.
Passo 2
Método que vamos usar: regressão linear pelo método dos mínimos quadrados (o procedimento padrão quando se pede “reta que melhor ajusta” um conjunto de pontos). Vou explicar as fórmulas e o que cada símbolo significa.
- Seja
o número de pontos. Aqui . - Seja
a soma dos valores de , a soma dos valores de . - Seja
a soma dos quadrados de . - Seja
a soma dos produtos . - A reta ajustada (retas dos mínimos quadrados) tem forma
, onde:
Explicação intuitiva:
é a inclinação que minimiza a soma dos quadrados das diferenças
. A fórmula acima vem da resolução das equações normais obtidas ao derivar essa soma em relação a
e
.
Passo 3
Calculemos as somas necessárias a partir dos pontos (estou pegando os valores diretamente da tabela):
Passo 4
Agora substituímos esses valores na fórmula de
:
Calcule passo a passo:
Portanto a inclinação é
.
Passo 5
Agora calculamos o coeficiente linear
:
Calcule:
Logo a reta dos mínimos quadrados é
Passo 6
Verificação e comparação com as alternativas: nenhuma alternativa coincide exatamente com
. Para dizer qual alternativa “melhor se aproxima” vamos comparar o erro (soma dos quadrados dos resíduos) de cada alternativa com o da nossa reta ótima. Primeiro o erro da reta ótima (resíduos
):
Para
:
x=1: , resíduo
x=2: , resíduo
x=3: , resíduo
x=4: , resíduo
x=5: , resíduo
x=1:
x=2:
x=3:
x=4:
x=5:
Quadrados dos resíduos:
.
Soma dos quadrados dos resíduos (SSE) da reta ótima = .
Soma dos quadrados dos resíduos (SSE) da reta ótima =
Agora calculemos rapidamente a SSE das alternativas (mostro os resultados):
- (a)
: resíduos , SSE . - (b)
: SSE . - (c)
: SSE . - (d)
: SSE .
Observação: eu calculei explicitamente os resíduos e seus quadrados para cada alternativa (os cálculos passo a passo foram feitos como nos exemplos acima). A SSE mínima é a da reta ótima
(SSE
), mas como essa opção não aparece entre (a)–(d), a alternativa com menor SSE entre as dadas é a (a)
(SSE
), ou seja, a que mais se aproxima da reta ótima.
Resposta
(a)