Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
x 1 2 3 4 5
\begin{array}{llllll}y & 2 & 5 & 7 & 10 & 13\end{array}
(a) y=2,8 x-1
(b) y=2,5 x-0,5
(c) y=3 x-1
(d) y=2 x+1
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pergunta qual reta “melhor ajusta” os pontos da tabela. Os pontos dados são:
(1,2), (2,5), (3,7), (4,10), (5,13).
A tarefa é escolher, entre as alternativas (a)–(d), a reta que melhor ajusta esses pontos (ou dizer que não sei). Vou usar os dados acima sem pedir nada a mais.

Passo 2

Método que vamos usar: regressão linear pelo método dos mínimos quadrados (o procedimento padrão quando se pede “reta que melhor ajusta” um conjunto de pontos). Vou explicar as fórmulas e o que cada símbolo significa.
  • Seja n o número de pontos. Aqui n=5.
  • Seja \sum x a soma dos valores de x, \sum y a soma dos valores de y.
  • Seja \sum x^2 a soma dos quadrados de x.
  • Seja \sum xy a soma dos produtos x\cdot y.
  • A reta ajustada (retas dos mínimos quadrados) tem forma \displaystyle y = b_1 x + b_0, onde: b_1 = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}
b_0 = \frac{\sum y - b_1 \sum x}{n}
Explicação intuitiva: b_1 é a inclinação que minimiza a soma dos quadrados das diferenças (y_i - (b_1 x_i + b_0))^2. A fórmula acima vem da resolução das equações normais obtidas ao derivar essa soma em relação a b_0 e b_1.

Passo 3

Calculemos as somas necessárias a partir dos pontos (estou pegando os valores diretamente da tabela):
n=5
\sum x = 1+2+3+4+5 = 15
\sum y = 2+5+7+10+13 = 37
\sum x^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 = 1+4+9+16+25 = 55
\sum xy = 1\cdot2 + 2\cdot5 + 3\cdot7 + 4\cdot10 + 5\cdot13 = 2+10+21+40+65 = 138

Passo 4

Agora substituímos esses valores na fórmula de b_1:
b_1 = \frac{5\cdot 138 - 15\cdot 37}{5\cdot 55 - 15^2}
Calcule passo a passo:
5\cdot 138 = 690
15\cdot 37 = 555
\text{numerador} = 690 - 555 = 135
5\cdot 55 = 275
15^2 = 225
\text{denominador} = 275 - 225 = 50
b_1 = \frac{135}{50} = 2{,}7
Portanto a inclinação é \displaystyle b_1=2{,}7.

Passo 5

Agora calculamos o coeficiente linear b_0:
b_0 = \frac{\sum y - b_1\sum x}{n} = \frac{37 - 2{,}7\cdot 15}{5}
Calcule:
2{,}7\cdot 15 = 40{,}5
37 - 40{,}5 = -3{,}5
b_0 = \frac{-3{,}5}{5} = -0{,}7
Logo a reta dos mínimos quadrados é
\boxed{y = 2{,}7x - 0{,}7}

Passo 6

Verificação e comparação com as alternativas: nenhuma alternativa coincide exatamente com y=2{,}7x-0{,}7. Para dizer qual alternativa “melhor se aproxima” vamos comparar o erro (soma dos quadrados dos resíduos) de cada alternativa com o da nossa reta ótima. Primeiro o erro da reta ótima (resíduos y_i - \hat y_i):
Para \hat y = 2{,}7x - 0{,}7:
x=1: \hat y=2{,}0, resíduo =2-2{,}0=0
x=2: \hat y=4{,}7, resíduo =5-4{,}7=0{,}3
x=3: \hat y=7{,}4, resíduo =7-7{,}4=-0{,}4
x=4: \hat y=10{,}1, resíduo =10-10{,}1=-0{,}1
x=5: \hat y=12{,}8, resíduo =13-12{,}8=0{,}2
Quadrados dos resíduos: 0^2+0{,}3^2+(-0{,}4)^2+(-0{,}1)^2+0{,}2^2 = 0 + 0{,}09 + 0{,}16 + 0{,}01 + 0{,}04 = 0{,}30.
Soma dos quadrados dos resíduos (SSE) da reta ótima = 0{,}30.
Agora calculemos rapidamente a SSE das alternativas (mostro os resultados):
  • (a) \displaystyle y=2{,}8x-1: resíduos \{0{,}2,0{,}4,-0{,}4,-0{,}2,0\}, SSE =0{,}40.
  • (b) \displaystyle y=2{,}5x-0{,}5: SSE =1{,}50.
  • (c) \displaystyle y=3x-1: SSE =3{,}00.
  • (d) \displaystyle y=2x+1: SSE =6{,}00.
Observação: eu calculei explicitamente os resíduos e seus quadrados para cada alternativa (os cálculos passo a passo foram feitos como nos exemplos acima). A SSE mínima é a da reta ótima y=2{,}7x-0{,}7 (SSE =0{,}30), mas como essa opção não aparece entre (a)–(d), a alternativa com menor SSE entre as dadas é a (a) \displaystyle y=2{,}8x-1 (SSE =0{,}40), ou seja, a que mais se aproxima da reta ótima.

Resposta

(a)

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