Seja
. Utilizando o método da secante, determine o valor aproximado da raiz
de
no intervalo
, com erro absoluto abaixo de 0,01 e avaliação do módulo da função também abaixo de 0,01 . OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
□
Se
for o valor da primeira iteração realizada. Qual o valor final de
? □
Se
Passo 1
O enunciado pede que usemos o método da secante para encontrar uma raiz
da equação
onde
no intervalo
, de modo que duas condições de parada sejam satisfeitas simultaneamente: o erro absoluto entre duas iterações consecutivas seja menor que
e o módulo da função avaliada na aproximação também seja menor que
. Além disso, devo usar aproximações com pelo menos 4 casas decimais. O enunciado também diz que a primeira iteração realizada será chamada de
e pergunta qual será o valor final de
quando pararmos.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - Intervalo onde buscar a raiz:
. - Critérios de parada:
e . - Usar aproximações com pelo menos 4 casas decimais.
- Contagem de iterações: a primeira iteração feita é rotulada
.
Passo 2
Breve aula do método da secante (passo-a-passo prático e fórmula).
- O método da secante gera novas aproximações da raiz usando duas aproximações anteriores
e . A fórmula para a próxima aproximação é
- Aqui cada símbolo significa:
-
e : as duas últimas aproximações conhecidas (pontos diferentes). -
e : os valores da função nesses pontos. -
: a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo .
-
- Critérios de parada práticos (os do enunciado):
- parar quando
E .
- parar quando
- Escolha inicial: como nos deram o intervalo
, usamos e como pontos iniciais.
Passo 3
Avaliação inicial da função nos extremos (vou calcular com precisão e mostrar os valores usados nas iterações).
- Calcular
:
Usando
obtemos
- Calcular
:
Usando
obtemos
Observação rápida:
e
, logo há pelo menos uma raiz no intervalo por continuidade — bom sinal para o método da secante.
Passo 4
Primeira iteração (rotulada
, conforme o enunciado). Usamos
e
para obter
.
- Fórmula aplicada:
- Substituindo números:
- Calculando o quociente:
- Avaliando
(para controle): -
, (linearização para obter valor). - Então
-
- Resultado da iteração
: -
, -
.
-
- Critérios de parada?
e . Então continuar.
Passo 5
Segunda iteração (
). Agora usamos
e
para obter
.
- Fórmula:
- Substituindo:
- Calculando numérico:
- Avaliando
: -
, . - Portanto
-
- Resultado da iteração
: -
, -
.
-
- Critérios de parada?
e . Continuar.
Passo 6
Terceira iteração (
). Usamos
e
para obter
.
- Fórmula:
- Substituindo:
- Calculando numericamente:
- Avaliando
: -
, . - Assim
-
- Resultado da iteração
: -
, -
.
-
- Critérios de parada?
e . Ainda não.
Passo 7
Quarta iteração (
). Usamos
e
para obter
.
- Fórmula:
- Substituindo:
- Calculando numericamente:
- Avaliando
: -
, (valor por aproximação linear). - Então
-
- Verificação dos critérios de parada:
- Erro absoluto entre últimas duas aproximações:
- Módulo da função:
- Ambos os critérios foram satisfeitos na iteração rotulada
. Portanto paramos aqui.