Seja f(x)=0.03 x^{3}-2 x+8 \operatorname{sen}(x+2). Utilizando o método da secante, determine o valor aproximado da raiz \xi de f(x)=0 no intervalo [5,6], com erro absoluto abaixo de 0,01 e avaliação do módulo da função também abaixo de 0,01 . OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
\xi \approx
Se k=0 for o valor da primeira iteração realizada. Qual o valor final de k ? □

Passo 1

O enunciado pede que usemos o método da secante para encontrar uma raiz \xi da equação
f(x)=0
onde
f(x)=0,03x^{3}-2x+8\sin(x+2),
no intervalo [5,6], de modo que duas condições de parada sejam satisfeitas simultaneamente: o erro absoluto entre duas iterações consecutivas seja menor que 0,01 e o módulo da função avaliada na aproximação também seja menor que 0,01. Além disso, devo usar aproximações com pelo menos 4 casas decimais. O enunciado também diz que a primeira iteração realizada será chamada de k=0 e pergunta qual será o valor final de k quando pararmos.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=0,03x^{3}-2x+8\sin(x+2).
  • Intervalo onde buscar a raiz: [5,6].
  • Critérios de parada: |x_{n+1}-x_n|<0,01 e |f(x_{n+1})|<0,01.
  • Usar aproximações com pelo menos 4 casas decimais.
  • Contagem de iterações: a primeira iteração feita é rotulada k=0.

Passo 2

Breve aula do método da secante (passo-a-passo prático e fórmula).
  • O método da secante gera novas aproximações da raiz usando duas aproximações anteriores x_{n-1} e x_n. A fórmula para a próxima aproximação x_{n+1} é
x_{n+1}=x_n-\;f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • x_{n-1} e x_n: as duas últimas aproximações conhecidas (pontos diferentes).
    • f(x_{n-1}) e f(x_n): os valores da função nesses pontos.
    • x_{n+1}: a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo x.
  • Critérios de parada práticos (os do enunciado):
    • parar quando |x_{n+1}-x_n|<0,01 E |f(x_{n+1})|<0,01.
  • Escolha inicial: como nos deram o intervalo [5,6], usamos x_0=5 e x_1=6 como pontos iniciais.

Passo 3

Avaliação inicial da função nos extremos (vou calcular com precisão e mostrar os valores usados nas iterações).
  • Calcular f(5):
f(5)=0,03\cdot 5^{3}-2\cdot 5+8\sin(5+2)=0,03\cdot 125-10+8\sin(7).
Usando \sin(7)\approx 0,6569865987 obtemos
f(5)\approx 3,75-10+8\cdot 0,6569865987\approx -0,9941072103.
  • Calcular f(6):
f(6)=0,03\cdot 6^{3}-2\cdot 6+8\sin(6+2)=0,03\cdot 216-12+8\sin(8).
Usando \sin(8)\approx 0,9893582466 obtemos
f(6)\approx 6,48-12+8\cdot 0,9893582466\approx 2,3948659730.
Observação rápida: f(5)<0 e f(6)>0, logo há pelo menos uma raiz no intervalo por continuidade — bom sinal para o método da secante.

Passo 4

Primeira iteração (rotulada k=0, conforme o enunciado). Usamos x_0=5 e x_1=6 para obter x_2.
  • Fórmula aplicada:
x_2 = x_1 - f(x_1)\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}.
  • Substituindo números:
x_2 \approx 6 - 2,3948659730\cdot\frac{6-5}{2,3948659730-(-0,9941072103)}.
  • Calculando o quociente:
x_2 \approx \frac{5\cdot 2,3948659730 - 6\cdot(-0,9941072103)}{2,3948659730 - (-0,9941072103)} \approx 5,2933368.
  • Avaliando f(x_2) (para controle):
    • x_2+2\approx 7,2933368, \sin(7,2933368)\approx 0,846914 (linearização para obter valor).
    • Então
    f(5,2933368)\approx 0,03\cdot(5,2933368)^3 -2\cdot 5,2933368 +8\cdot 0,846914 \approx 0,638126\;(\text{aprox.}).
  • Resultado da iteração k=0:
    • x_2\approx 5,2933368,
    • f(x_2)\approx 0,638126.
  • Critérios de parada? |x_2-x_1|=|5,2933368-6|=0,7066632>0,01 e |f(x_2)|=0,638126>0,01. Então continuar.

Passo 5

Segunda iteração ( k=1). Agora usamos x_1=6 e x_2\approx 5,2933368 para obter x_3.
  • Fórmula:
x_3 = x_2 - f(x_2)\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}.
  • Substituindo:
x_3 \approx 5,2933368 - 0,638126\cdot\frac{5,2933368-6}{0,638126-2,3948659730}.
  • Calculando numérico:
x_3\approx 5,0366610.
  • Avaliando f(x_3):
    • x_3+2\approx 7,0366610, \sin(7,0366610)\approx 0,68418.
    • Portanto
    f(5,0366610)\approx 0,03\cdot(5,0366610)^3 -2\cdot 5,0366610 +8\cdot 0,68418 \approx -0,766785\;(\text{aprox.}).
  • Resultado da iteração k=1:
    • x_3\approx 5,0366610,
    • f(x_3)\approx -0,766785.
  • Critérios de parada? |x_3-x_2|=|5,0366610-5,2933368|=0,2566758>0,01 e |f(x_3)|=0,766785>0,01. Continuar.

Passo 6

Terceira iteração ( k=2). Usamos x_2\approx 5,2933368 e x_3\approx 5,0366610 para obter x_4.
  • Fórmula:
x_4 = x_3 - f(x_3)\frac{x_3-x_2}{f(x_3)-f(x_2)}.
  • Substituindo:
x_4 \approx 5,0366610 - (-0,766785)\cdot\frac{5,0366610-5,2933368}{-0,766785-0,638126}.
  • Calculando numericamente:
x_4\approx 5,1768210.
  • Avaliando f(x_4):
    • x_4+2\approx 7,1768210, \sin(7,1768210)\approx 0,77950.
    • Assim
    f(5,1768210)\approx 0,03\cdot(5,1768210)^3 -2\cdot 5,1768210 +8\cdot 0,77950 \approx 0,044391\;(\text{aprox.}).
  • Resultado da iteração k=2:
    • x_4\approx 5,1768210,
    • f(x_4)\approx 0,044391.
  • Critérios de parada? |x_4-x_3|=|5,1768210-5,0366610|=0,1401600>0,01 e |f(x_4)|=0,044391>0,01. Ainda não.

Passo 7

Quarta iteração ( k=3). Usamos x_3\approx 5,0366610 e x_4\approx 5,1768210 para obter x_5.
  • Fórmula:
x_5 = x_4 - f(x_4)\frac{x_4-x_3}{f(x_4)-f(x_3)}.
  • Substituindo:
x_5 \approx 5,1768210 - 0,044391\cdot\frac{5,1768210-5,0366610}{0,044391-(-0,766785)}.
  • Calculando numericamente:
x_5\approx 5,1691650.
  • Avaliando f(x_5):
    • x_5+2\approx 7,1691650, \sin(7,1691650)\approx 0,77456 (valor por aproximação linear).
    • Então
    f(5,1691650)\approx 0,03\cdot(5,1691650)^3 -2\cdot 5,1691650 +8\cdot 0,77456 \approx 0,002262\;(\text{aprox.}).
  • Verificação dos critérios de parada:
    • Erro absoluto entre últimas duas aproximações:
    |x_5-x_4|=|5,1691650-5,1768210|\approx 0,0076560<0,01.
    • Módulo da função:
    |f(x_5)|\approx 0,002262<0,01.
  • Ambos os critérios foram satisfeitos na iteração rotulada k=3. Portanto paramos aqui.

Resposta

\xi \approx 5,1692
k=3

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