1. Seja f tabelada a seguir:
x 0,18 0,29 0,41 0,53 0,68 0,75
f(x) 0,14 0,20 0,28 0,31 0,35 0,40
Obter uma aproximação de f(0,47) usando um polinômio de grau 2 .

Passo 1

O enunciado pede: aproximar f(0,47) por um polinômio de grau 2 a partir da tabela fornecida. Os dados relevantes da tabela são:
\begin{array}{c|cccccc} x & 0,18 & 0,29 & 0,41 & 0,53 & 0,68 & 0,75\\hline f(x) & 0,14 & 0,20 & 0,28 & 0,31 & 0,35 & 0,40 \end{array}
Portanto, sabemos os pares (x,f(x)) mostrados acima e a tarefa é construir um polinômio quadrático que aproxime f em x=0,47 e então calcular essa aproximação.

Passo 2

Escolha dos três pontos a usar no polinômio quadrático. Para interpolação quadrática precisamos de três pontos. Como queremos aproximar em x=0,47, é sensato escolher os três pontos da tabela mais próximos de 0,47 e que envolvam o intervalo onde 0,47 está (entre 0,41 e 0,53). Os três pontos escolhidos são:
(x_0,f_0)=(0,29,\,0,20),\quad (x_1,f_1)=(0,41,\,0,28),\quad (x_2,f_2)=(0,53,\,0,31).
Esses pontos têm distâncias a 0,47 de 0,18, 0,06 e 0,06 respectivamente (observe que 0,47 está entre 0,41 e 0,53), então são apropriados para uma interpolação local.

Passo 3

Apresentação do método (Newton com diferenças divididas) e explicação didática.
Queremos um polinômio de grau 2 na forma de Newton:
p(x)=f_0 + f[x_0,x_1]\,(x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2]\,(x-x_0)(x-x_1).
Aqui:
  • f_0 é f(x_0).
  • f[x_0,x_1] é a diferença dividida de primeira ordem entre x_0 e x_1, definida por
f[x_0,x_1]=\frac{f_1-f_0}{x_1-x_0}.
  • f[x_0,x_1,x_2] é a diferença dividida de segunda ordem, definida por
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Intuição: as diferenças divididas generalizam a ideia de inclinação (derivada aproximada). Montando p(x) desse jeito garantimos que p(x_i)=f_i para i=0,1,2. Depois só avaliamos p(0,47).

Passo 4

Calcular a primeira diferença dividida f[x_0,x_1].
Usando os valores escolhidos:
f[x_0,x_1]=\frac{f_1-f_0}{x_1-x_0}=\frac{0,28-0,20}{0,41-0,29}.
Fazendo as contas:
0,28-0,20=0,08,\qquad 0,41-0,29=0,12,
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f[x_0,x_1]=\frac{0,08}{0,12}=\frac{2}{3}\approx0,666666\ldots

Passo 5

Calcular a primeira diferença dividida f[x_1,x_2] (vai ser usada na segunda ordem):
f[x_1,x_2]=\frac{f_2-f_1}{x_2-x_1}=\frac{0,31-0,28}{0,53-0,41}.
Fazendo as contas:
0,31-0,28=0,03,\qquad 0,53-0,41=0,12,
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f[x_1,x_2]=\frac{0,03}{0,12}=\frac{1}{4}=0,25.

Passo 6

Calcular a diferença dividida de segunda ordem f[x_0,x_1,x_2].
Usamos a fórmula
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Substituindo os valores:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{0,25-\tfrac{2}{3}}{0,53-0,29}.
Calcule o numerador e denominador separadamente:
0,25-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{4}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{3-8}{12}=-\tfrac{5}{12},
0,53-0,29=0,24.
Logo
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{-\tfrac{5}{12}}{0,24}=\frac{-5}{12}\cdot\frac{1}{0,24}.
Observe que 0,24=\tfrac{24}{100}=\tfrac{6}{25}, então
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{-5}{12}\cdot\frac{25}{6}=-\frac{125}{72}\approx-1,736111\ldots

Passo 7

Escrever o polinômio p(x) com os coeficientes calculados.
Temos
f_0=0,20,\quad f[x_0,x_1]=\tfrac{2}{3},\quad f[x_0,x_1,x_2]=-\tfrac{125}{72}.
Portanto
p(x)=0,20+\tfrac{2}{3}\,(x-0,29)-\tfrac{125}{72}\,(x-0,29)(x-0,41).

Passo 8

Avaliar p(x) em x=0,47. Primeiro calcule as diferenças:
x-x_0=0,47-0,29=0,18,\qquad x-x_1=0,47-0,41=0,06.
Agora avalie termo a termo:
\text{termo linear}=\tfrac{2}{3}\cdot0,18=0,12,
\text{termo quadrático}=-\tfrac{125}{72}\cdot(0,18)(0,06).á
Calcule (0,18)(0,06)=0,0108. Então
\text{termo quadrático}=-\tfrac{125}{72}\cdot0,0108.á
Para facilitar, note que 125\cdot0,0108=1,35. Assim
\text{termo quadrático}=-\frac{1,35}{72}=-0,01875.á

Passo 9

Somar os termos para obter p(0,47):
p(0,47)=0,20+0,12-0,01875=0,30125.
Esse é o valor da aproximação por interpolação quadrática com os três pontos escolhidos.

Resposta

f(0,47)\approx0,30125

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