- Seja f tabelada a seguir:
0,18
0,29
0,41
0,53
0,68
0,75
0,14
0,20
0,28
0,31
0,35
0,40
Obter uma aproximação de
usando um polinômio de grau 2 .
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0,18 | 0,29 | 0,41 | 0,53 | 0,68 | 0,75 |
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0,14 | 0,20 | 0,28 | 0,31 | 0,35 | 0,40 |
Passo 1
O enunciado pede: aproximar
por um polinômio de grau 2 a partir da tabela fornecida. Os dados relevantes da tabela são:
Portanto, sabemos os pares
mostrados acima e a tarefa é construir um polinômio quadrático que aproxime
em
e então calcular essa aproximação.
Passo 2
Escolha dos três pontos a usar no polinômio quadrático. Para interpolação quadrática precisamos de três pontos. Como queremos aproximar em
, é sensato escolher os três pontos da tabela mais próximos de
e que envolvam o intervalo onde
está (entre
e
). Os três pontos escolhidos são:
Esses pontos têm distâncias a
de
,
e
respectivamente (observe que
está entre
e
), então são apropriados para uma interpolação local.
Passo 3
Apresentação do método (Newton com diferenças divididas) e explicação didática.
Queremos um polinômio de grau 2 na forma de Newton:
Queremos um polinômio de grau 2 na forma de Newton:
Aqui:
-
é . -
é a diferença dividida de primeira ordem entre e , definida por
-
é a diferença dividida de segunda ordem, definida por
Intuição: as diferenças divididas generalizam a ideia de inclinação (derivada aproximada). Montando
desse jeito garantimos que
para
. Depois só avaliamos
.
Passo 4
Calcular a primeira diferença dividida
.
Usando os valores escolhidos:
Usando os valores escolhidos:
Fazendo as contas:
logo
Passo 5
Calcular a primeira diferença dividida
(vai ser usada na segunda ordem):
Fazendo as contas:
logo
Passo 6
Calcular a diferença dividida de segunda ordem
.
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
Substituindo os valores:
Calcule o numerador e denominador separadamente:
Logo
Observe que
, então
Passo 7
Escrever o polinômio
com os coeficientes calculados.
Temos
Temos
Portanto
Passo 8
Avaliar
em
. Primeiro calcule as diferenças:
Agora avalie termo a termo:
Calcule
. Então
Para facilitar, note que
. Assim
Passo 9
Somar os termos para obter
:
Esse é o valor da aproximação por interpolação quadrática com os três pontos escolhidos.