Questão 6 | Ainda não respondida Vale 9 ponto(s). □ Marcar questão

Uma pessoa com y_{0}=1.80 \mathrm{~m} de altura lança uma bola para cima com velocidade inicial de v_{0}=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a altura máxima aproximada alcançada pela bola usando o método de Euler, partindo de t=0 \mathrm{~s} com um passo h=0.2 \mathrm{~s}. Considere a gravidade g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Altura máxima: y_{\max }=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: determinar a altura máxima aproximada alcançada pela bola usando o método de Euler, começando em t=0 com passo h=0{,}2\\ \mathrm{s}.
  • Dados fornecidos:
    • altura inicial \,y_0=1{,}80\\ \mathrm{m},
    • velocidade inicial \,v_0=12{,}0\\ \mathrm{m/s},
    • aceleração da gravidade \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
    • passo de tempo \,h=0{,}2\\ \mathrm{s}.
Pergunta clara: calcular, pela aproximação de Euler, a altura máxima \,y_{\max} atingida pela bola.

Passo 2

Modelagem por equações diferenciais de primeira ordem (descrição da física e das incógnitas):
  • A variável y(t)\) é a altura (em metros). - A variável \(v(t)\) é a velocidade vertical (em m/s), com \(v>0\) subindo e \(v<0\) descendo. - As equações diferenciais do movimento vertical com aceleração constante são: \[\begin{cases} y'(t)=v(t),\\[4pt] v'(t)=-g. \end{cases}
  • Condições iniciais: \,y(0)=y_0=1{,}80\] e \(\,v(0)=v_0=12{,}0.
Explicação curta: y'(t)=v(t) significa que a derivada da altura é a velocidade; v'(t)=-g significa que a velocidade varia com taxa constante -g por causa da gravidade.]

Passo 3

Fórmulas do método de Euler explícito (o que vamos iterar) e significado das variáveis:
  • índice temporal: t_n = n h.
  • aproximações numéricas: y_n \approx y(t_n) e v_n \approx v(t_n).
  • fórmulas de Euler explícito (passo para frente):
v_{n+1} = v_n + h\cdot(-g)
y_{n+1} = y_n + h\cdot v_n
Aqui h é o passo de tempo; usamos a velocidade no início do passo ( v_n) para atualizar y, e a aceleração constante -g para atualizar v.

Passo 4

Vamos iterar passo a passo com h=0{,}2. Começo com n=0: t_0=0, y_0=1{,}80, v_0=12{,}00.
Cálculo do passo n=0\to1:
v_1 = v_0 - h g = 12{,}00 - 0{,}2\cdot 9{,}8 = 12{,}00 - 1{,}96 = 10{,}04
y_1 = y_0 + h v_0 = 1{,}80 + 0{,}2\cdot 12{,}00 = 1{,}80 + 2{,}40 = 4{,}20

Passo 5

Continuando as iterações (vou mostrar os cálculos de cada passo; mantenho 2 casas decimais quando necessário):
Passo 1\to2:
v_2 = 10{,}04 - 1{,}96 = 8{,}08
y_2 = 4{,}20 + 0{,}2\cdot 10{,}04 = 4{,}20 + 2{,}008 = 6{,}208
Passo 2\to3:
v_3 = 8{,}08 - 1{,}96 = 6{,}12
y_3 = 6{,}208 + 0{,}2\cdot 8{,}08 = 6{,}208 + 1{,}616 = 7{,}824
Passo 3\to4:
v_4 = 6{,}12 - 1{,}96 = 4{,}16
y_4 = 7{,}824 + 0{,}2\cdot 6{,}12 = 7{,}824 + 1{,}224 = 9{,}048

Passo 6

Continuo mais passos até ver a mudança de sinal da velocidade (isso indica que passou pelo máximo):
Passo 4\to5:
v_5 = 4{,}16 - 1{,}96 = 2{,}20
y_5 = 9{,}048 + 0{,}2\cdot 4{,}16 = 9{,}048 + 0{,}832 = 9{,}880
Passo 5\to6:
v_6 = 2{,}20 - 1{,}96 = 0{,}24
y_6 = 9{,}880 + 0{,}2\cdot 2{,}20 = 9{,}880 + 0{,}440 = 10{,}320
Passo 6\to7:
v_7 = 0{,}24 - 1{,}96 = -1{,}72
y_7 = 10{,}320 + 0{,}2\cdot 0{,}24 = 10{,}320 + 0{,}048 = 10{,}368
Passo 7\to8 (já para ver comportamento depois do máximo):
v_8 = -1{,}72 - 1{,}96 = -3{,}68
y_8 = 10{,}368 + 0{,}2\cdot (-1{,}72) = 10{,}368 - 0{,}344 = 10{,}024

Passo 7

Interpretação dos resultados e identificação da altura máxima aproximada:
  • Observando os sinais de v_n: v_6=0{,}24>0 e v_7=-1{,}72<0. Houve mudança de sinal entre t_6=1{,}2\\ \mathrm{s} e t_7=1{,}4\\ \mathrm{s}, logo o máximo real acontece nesse intervalo.
  • Pelo método de Euler (com passo fixo), a sequência de alturas calculadas foi: y_0=1{,}80,\; y_1=4{,}20,\; y_2=6{,}208,\; y_3=7{,}824,\; y_4=9{,}048,\; y_5=9{,}880,\; y_6=10{,}320,\; y_7=10{,}368,\; y_8=10{,}024.
  • A maior altura obtida nas aproximações é y_7=10{,}368\\ \mathrm{m}. Apesar de a velocidade no passo seguinte já ser negativa, o algoritmo de Euler usou v_6 para computar y_7, o que gerou esse pequeno acréscimo; portanto, por consistência com o procedimento de Euler, tomamos y_7 como a altura máxima aproximada pelo método.
Observação curta (útil para prova): se quiser maior precisão sem reduzir h, poderia usar interpolação entre t_6 e t_7 ou reduzir o passo h. Euler com passo grande tende a superestimar/levar pequeno erro no instante exato do máximo.

Resposta

y_{\max}=10{,}368\\ \mathrm{m}

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