Questão 6 | Ainda não respondida Vale 9 ponto(s). □ Marcar questão
Uma pessoa com
de altura lança uma bola para cima com velocidade inicial de
. Determine a altura máxima aproximada alcançada pela bola usando o método de Euler, partindo de
com um passo
. Considere a gravidade
.
Altura máxima:
□
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: determinar a altura máxima aproximada alcançada pela bola usando o método de Euler, começando em
com passo . - Dados fornecidos:
- altura inicial
, - velocidade inicial
, - aceleração da gravidade
, - passo de tempo
.
- altura inicial
Pergunta clara: calcular, pela aproximação de Euler, a altura máxima
atingida pela bola.
Passo 2
Modelagem por equações diferenciais de primeira ordem (descrição da física e das incógnitas):
- A variável
- Condições iniciais: .
Explicação curta:
significa que a derivada da altura é a velocidade;
significa que a velocidade varia com taxa constante
por causa da gravidade.]
Passo 3
Fórmulas do método de Euler explícito (o que vamos iterar) e significado das variáveis:
- índice temporal:
. - aproximações numéricas:
e . - fórmulas de Euler explícito (passo para frente):
Aqui
é o passo de tempo; usamos a velocidade no início do passo (
) para atualizar
, e a aceleração constante
para atualizar
.
Passo 4
Vamos iterar passo a passo com
. Começo com
:
,
,
.
Cálculo do passo
:
Passo 5
Continuando as iterações (vou mostrar os cálculos de cada passo; mantenho 2 casas decimais quando necessário):
Passo
:
Passo
:
Passo
:
Passo 6
Continuo mais passos até ver a mudança de sinal da velocidade (isso indica que passou pelo máximo):
Passo
:
Passo
:
Passo
:
Passo
(já para ver comportamento depois do máximo):
Passo 7
Interpretação dos resultados e identificação da altura máxima aproximada:
- Observando os sinais de
: e . Houve mudança de sinal entre e , logo o máximo real acontece nesse intervalo. - Pelo método de Euler (com passo fixo), a sequência de alturas calculadas foi:
- A maior altura obtida nas aproximações é
. Apesar de a velocidade no passo seguinte já ser negativa, o algoritmo de Euler usou para computar , o que gerou esse pequeno acréscimo; portanto, por consistência com o procedimento de Euler, tomamos como a altura máxima aproximada pelo método.
Observação curta (útil para prova): se quiser maior precisão sem reduzir
, poderia usar interpolação entre
e
ou reduzir o passo
. Euler com passo grande tende a superestimar/levar pequeno erro no instante exato do máximo.