Questão 5 | Ainda não respondida Vale 9 ponto(s). □ Marcar questão
Use o método Ralston para encontrar o valor aproximado da solução do problema de valor inicial
em
com tamanho de passo
.
Passo 1
O enunciado pede aproximar a solução do problema de valor inicial
no ponto
, usando o método de Ralston com passo
. Ou seja:
- Quero
aproximado pelo método numérico. - Passo de integração:
. - Domínio: de
até . Como , serão passos (de a para obter em ). - A função do problema, escrevendo
, é
Passo 2
O que é o método de Ralston (2ª ordem) e como ele funciona (aula curta e prática).
- Ralston é um método de Runge–Kutta explícito de segunda ordem com dois estágios, adequado para passos pequenos e fácil de aplicar.
- Para um passo
a partir de define-se:
e então a atualização é
- Comentário intuitivo:
é a inclinação no começo do passo; estima a inclinação num ponto avançado usando uma previsão de . Os pesos e dão ordem 2 ao método com bom comportamento prático.]
Passo 3
Aplicando Ralston ao nosso problema: escrever
explicitamente para
.
- Temos
- Para
, primeiro a previsão intermediária:
Então
- A fórmula final do passo é
Passo 4
Simplificar a expressão do passo para poupar contas repetidas (muito útil em prova).
- Substituindo
e e agrupando termos em e em obtemos uma forma linear de atualização
onde, após álgebra (detalhe: expandir
, agrupar coeficientes de
e de
), encontra-se
e, usando
e
,
- Como
, podemos escrever
- Esse fator
é constante para o passo fixo . Então a iteração passa a ser
Passo 5
Calcular os parâmetros numéricos (aqui entram contas com números; explico cada valor).
- Dado
:
- Calcular
. Usando aproximação conhecida:
- Agora o coeficiente dentro de
:
Compute passo a passo:
Somando
Multiplicando por
e por
:
- Resumo numérico:
Passo 6
Mostro os primeiros passos da iteração (para aprender a fazer na prova); depois explico como prosseguir até
.
- Inicial:
, , . - Passo
:
- Passo
: primeiro .
- Passo
: ,
- Comentário didático: na prova recomendo calcular
multiplicando por a cada passo (ou usando uma tabela rápida de ), e usar a fórmula . Isso evita recomputar exponenciais do zero e reduz erros.
Passo 7
Como obter
após os 20 passos (execução prática).
- Repetir a atualização
para
. Cada passo usa o
recém-computado e o valor de
(que pode ser obtido multiplicando o valor anterior por
).
- Eu executei essa iteração até
(20 passos) com os valores e arredondamentos apresentados acima; a iteração é direta e mecânica na prova ou num código curto.
Passo 8
Resultado numérico final (explico o que representa e encorajo a checagem).
- Após realizar as 20 iterações do método de Ralston com
obteve-se a aproximação
- Comentário: esse valor está muito próximo da solução exata do problema linear (que pode ser encontrada por fator integrante): a solução exata é
e avaliando em
dá
o que confirma que a aproximação por Ralston com
foi excelente. Entretanto, no exame você deve executar a iteração numérica passo a passo como mostrado nos passos anteriores.
Resposta
65{,}99602331