Questão 7 | Ainda não respondida Vale 9 ponto(s). □ Marcar questão
O escoamento da água através de um orifício na base de um tanque cilíndrico vertical pode ser modelado pela equação diferencial
onde
é uma constante que depende da forma do orifício e da área da seção do tanque. A altura da coluna de água
é medida em função do tempo
[min]. Sabe-se que a coluna de água está inicialmente a uma altura
. Usando o método de Heun com passo
, calcule a altura da coluna de água após 12 minutos da abertura da válvula.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação diferencial é
. - A constante é
. - Condição inicial:
. - Passo do método de Heun:
(min). - Queremos a altura após 12 minutos, isto é
.
Informações relevantes de contagem de passos:
- O intervalo de
até com passo tem exatamente 3 passos: , , , . - Em cada passo aplicaremos o método de Heun (predictor-corrector) para obter
a partir de .
Passo 2
Explicar o método de Heun (a versão de 2ª ordem, também chamada de Euler melhorado) e as fórmulas que vamos usar.
- Denotando
, o método de Heun para um passo é:
- Interpretação das variáveis:
-
é a aproximação da solução no tempo . -
é o valor predito por Euler explícito. -
é a correção média entre a inclinação inicial e a inclinação no ponto predito .
-
- Para nossa EDO,
. Note que depende somente de , não de .
Passo 3
Primeiro passo: de
para
.
- Compute
:
- Preditor:
- Compute
:
- Corretor (aplicando a média das inclinações):
Portanto, após o primeiro passo obtemos
.
Observação rápida sobre as raízes quadradas: para obter
usei uma aproximação numérica (por exemplo Newton) mantida com precisão suficiente para quatro a seis casas decimais.
Passo 4
Segundo passo: de
para
.
- Compute
:
- Preditor:
- Compute
:
- Corretor:
Logo,
no tempo
.
Passo 5
Terceiro passo: de
para
.
- Compute
:
- Preditor:
- Compute
:
- Corretor:
Portanto, no tempo
minutos a aproximação dada pelo método de Heun é
.