6^a Questão: Aplicar o método da falsa posição para encontrar uma aproximação para o zero de f(x)=3 raizx+ln x-4 no intervalo [1,2] com precisões varepsilon=10^-4 usando cinco casas decimais.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra usar o método da falsa posição (ou regula falsi) pra achar uma raiz de
f(x)=3raizx+ln x-4
no intervalo [1,2], até uma precisão varepsilon=10^-4, reportando o valor com cinco casas decimais.
Conteúdo envolvido:
1) Entender que a falsa posição usa interpolação linear entre os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)).
2) Garantir que f(a)cdot f(b)<0, para ter mudança de sinal.
3) Repetir a fórmula
xnovo = b - f(b),(b-a)f(b)-f(a)
até |f(xnovo)|<10^-4.

Passo 2

Primeiro a gente calcula f(1) e f(2):
f(1)=3raiz1+ln1-4=3+0-4=-1
f(2)=3raiz2+ln2-4approx3cdot1.41421+0.69315-4approx0.93579
Como f(1)cdot f(2)<0, beleza, há raiz no intervalo.
Agora a primeira aproximação é
x1=2-f(2),(2-1)f(2)-f(1) =;2-0.93579cdot10.93579-(-1) approx1.51651

Passo 3

Calculo f(x1) e ajusto o intervalo:
f(1.51651)=3raiz1.51651+ln1.51651-4approx0.11056
Como f(1)cdot f(x1)<0, a raiz está em [1,,1.51651].
Faço a segunda falsa posição:
$$x_2=1.51651-\frac{0.11056,(1.51651-1)}{0.11056-(-1)}
\approx1.46509.$$

Passo 4

Agora f(1.46509)approx0.01275. Como f(1)cdot f(1.46509)<0, o intervalo vira [1,,1.46509].
Terceira aproximação:
$$x_3=1.46509-\frac{0.01275,(1.46509-1)}{0.01275-(-1)}
\approx1.45923.$$
E x3=1.46509-0.01275,(1.46509-1)0.01275-(-1) approx1.45923.

Passo 5

Como f(1.45923)cdot f(1)<0 é positivo, mudamos o ponto esquerdo para 1.45923, ficando [1.45923,,1.46509].
Quarta aproximação:
$$x_4=1.46509-\frac{0.01275,(1.46509-1.45923)}{0.01275-(-0.00118)}
\approx1.45973,$$
com x4=1.46509-0.01275,(1.46509-1.45923)0.01275-(-0.00118) approx1.45973,.

Passo 6

Ainda |f(x4)|=2.0times10^-4>10^-4, então continuo. Novo intervalo [1.45973,,1.46509].
Quinta aproximação:
$$x_5=1.46509-\frac{0.01275,(1.46509-1.45973)}{0.01275-(-0.00020)}
\approx1.45981,$$
e aí
x5=1.46509-0.01275,(1.46509-1.45973)0.01275-(-0.00020) approx1.45981,, que já satisfaz f(1.45981)approx-3.5times10^-5.

Resposta

A raiz aproximada, com cinco casas e precisão 10^-4 pelo método da falsa posição, é
boxedxapprox1.45981

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