7^a Questão: Encontre a raiz de f(x)=x^3-x-1 no intervalo [1, 2], usando o método do ponto fixo, onde varepsilon<0,001.

Passo 1

Então, o exercício pede para achar a raiz da função
f(x)=x^3 - x - 1
no intervalo usando o método do ponto fixo, com erro .
Conteúdo: método de ponto fixo (ou iteração de ponto fixo).
O que vamos precisar:
  1. Reescrever na forma .
  2. Escolher um ponto inicial em .
  3. Iterar até .
  4. Verificar a condição de convergência em .

Passo 2

Reescrevendo x^3 - x - 1 = 0 ;Longrightarrow; x^3 = x + 1 ;Longrightarrow; x = raiz[3],x+1, :
g(x) = (x+1)^1/3
Logo, definimos

Passo 3

Verificação de convergência:
g'(x) = 13(x+1)^-2/3
No intervalo |g'(x)| = 13(x+1)^-2/3 <= 13,2^-2/3 < 1 , e
Como , garantimos convergência do método.

Passo 4

Escolhemos o chute inicial xn+1 = g(xn) = raiz[3],xn+1, (que está em ) e começamos a iterar:

Passo 5

Calculo das iterações até x1 = raiz[3]1,5 + 1 = raiz[3]2,5approx1,3572, |x1-x0|=0,1428>0,001 :
n = 0:
x2 = raiz[3]1,3572 + 1 = raiz[3]2,3572approx1,3303, |x2-x1|=0,0269>0,001
n = 1:
x3 = raiz[3]1,3303 + 1 = raiz[3]2,3303approx1,3250, |x3-x2|=0,0053>0,001
n = 2:
x4 = raiz[3]1,3250 + 1 = raiz[3]2,3250approx1,3242, |x4-x3|=0,0008<0,001
n = 3:
Como a diferença ficou menor que em , paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada de boxedxapprox1,3242 no intervalo pelo método do ponto fixo, com , é

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