Questão 5 Para cada item, diga se a afirmação é verdadeira ou falsa.
a) Podem existir diferentes bases para um mesmo espaço vetorial.
a) Podem existir diferentes bases para um mesmo espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente dizer se a afirmação “Podem existir diferentes bases para um mesmo espaço vetorial” é verdadeira ou falsa. Vamos trabalhar com o conteúdo de bases de espaços vetoriais. Pra resolver isso, a gente precisa entender o que é uma base e se é possível ter mais de uma base pra um mesmo espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que geram todo o espaço e que são linearmente independentes. Isso significa que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação desses vetores da base, e nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 3
Agora, vamos pensar: será que um espaço vetorial pode ter várias bases diferentes? A resposta é sim! Por exemplo, no plano (que é um espaço vetorial de duas dimensões), a base padrão é formada pelos vetores (1,0) e (0,1). Mas você também pode usar outros vetores que não sejam múltiplos um do outro, como (1,1) e (1,-1). Eles também geram todo o plano e são linearmente independentes. Isso mostra que existem diferentes maneiras de escolher bases para o mesmo espaço.
Passo 4
Com isso, fica claro que um mesmo espaço vetorial pode ter várias bases diferentes, dependendo de quais vetores você escolhe, desde que eles satisfaçam os critérios de geração e independência linear.
Resposta
A afirmação é verdadeira.