Questão 2 Considere os vetores
e
.
a) Explique por que o conjunto
é linearmente dependente.
a) Explique por que o conjunto
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão de álgebra linear. O enunciado nos dá três vetores no espaço
e pede para explicar por que o conjunto
é linearmente dependente. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como identificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Uma combinação linear de vetores é quando você multiplica cada vetor por um número (chamamos de escalares) e depois soma esses resultados. Por exemplo, se tivermos vetores
, uma combinação linear seria:
onde
são números reais.
Passo 3
Agora, o conjunto de vetores é chamado de linearmente dependente se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor zero (
), e pelo menos um dos escalares
não é zero. Em outras palavras, podemos encontrar números
, não todos zero, tais que:
Passo 4
Vamos aplicar isso aos vetores dados:
Queremos encontrar escalares
não todos zero que satisfaçam:
Passo 5
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar substituição ou eliminação. Vou usar eliminação aqui.
Primeira equação:
Segunda equação:
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 7
Da equação (3), temos que
. Vamos substituir isso na equação (1):
Passo 8
Então, temos:
Podemos escolher
(qualquer valor diferente de zero serve), então:
Resposta
Assim, encontramos escalares não todos zero que satisfazem a combinação linear:
Portanto, o conjunto
é linearmente dependente.