Questão 2 Considere os vetores v1=[l2 1], v2=[l1 2] e v3=[c1 -1].
a) Explique por que o conjunto v1, v2, v3 é linearmente dependente.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão de álgebra linear. O enunciado nos dá três vetores no espaço R^2 e pede para explicar por que o conjunto v1, v2, v3 é linearmente dependente. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como identificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Uma combinação linear de vetores é quando você multiplica cada vetor por um número (chamamos de escalares) e depois soma esses resultados. Por exemplo, se tivermos vetores v1, v2, v3, uma combinação linear seria:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3
onde c1, c2, c3 são números reais.

Passo 3

Agora, o conjunto de vetores é chamado de linearmente dependente se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor zero ( 0), e pelo menos um dos escalares c1, c2, c3 não é zero. Em outras palavras, podemos encontrar números c1, c2, c3, não todos zero, tais que:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0

Passo 4

Vamos aplicar isso aos vetores dados:
v1 = 2 1, v2 = 1 2, v3 = 1 -1
Queremos encontrar escalares c1, c2, c3 não todos zero que satisfaçam:
c1 2 1 + c2 1 2 + c3 1 -1 = 0 0

Passo 5

Isso resulta no seguinte sistema de equações:
2c1 + c2 + c3 = 0 c1 + 2c2 - c3 = 0

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar substituição ou eliminação. Vou usar eliminação aqui.
Primeira equação:
2c1 + c2 + c3 = 0 (1)
Segunda equação:
c1 + 2c2 - c3 = 0 (2)
Vamos somar as duas equações para eliminar c3:
(2c1 + c2 + c3) + (c1 + 2c2 - c3) = 0 + 0 3c1 + 3c2 = 0 c1 + c2 = 0 (3)

Passo 7

Da equação (3), temos que c1 = -c2. Vamos substituir isso na equação (1):
2(-c2) + c2 + c3 = 0 -2c2 + c2 + c3 = 0 - c2 + c3 = 0 c3 = c2

Passo 8

Então, temos:
c1 = -c2 c3 = c2
Podemos escolher c2 = 1 (qualquer valor diferente de zero serve), então:
c1 = -1 c2 = 1 c3 = 1

Resposta

Assim, encontramos escalares não todos zero que satisfazem a combinação linear:
-1 cdot v1 + 1 cdot v2 + 1 cdot v3 = 0
Portanto, o conjunto v1, v2, v3 é linearmente dependente.

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