Questão 1 Suponha que tenhamos um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. Cada equação representa uma reta em R^2. Em termos geométricos, o que significa:
c) o sistema ser possível e ter infinitas soluções?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, que na prática representa duas retas no plano R^2. O que a pergunta quer saber é o que significa, de forma geométrica, o sistema ser possível e ter infinitas soluções. Para resolver isso, vamos entender o que cada parte dessa afirmação significa no contexto de geometria e álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema linear com duas equações e duas incógnitas pode ser representado por duas retas no plano. Cada equação corresponde a uma reta específica. Agora, quando falamos que o sistema é possível, significa que existe pelo menos uma solução que satisfaz ambas as equações ao mesmo tempo, ou seja, as retas se intersectam em algum ponto.

Passo 3

Mas a parte que a questão destaca é que o sistema tem infinitas soluções. Na geometria, isso acontece quando as duas retas não apenas se intersectam, mas na verdade são a mesma reta. Ou seja, as duas equações são equivalentes e representam a mesma linha no plano. Nesse caso, qualquer ponto dessa reta é solução do sistema, o que resulta em infinitas soluções.

Passo 4

Para visualizar isso, imagine duas linhas que parecem idênticas e se sobrepõem completamente. Como elas ocupam exatamente o mesmo espaço, qualquer ponto que você escolher nessa linha vai satisfazer ambas as equações do sistema. Isso é o que chamamos de coerência infinita no sistema linear.

Resposta

Geometricamente, o sistema ser possível e ter infinitas soluções significa que as duas retas coincidem, ou seja, são a mesma linha no plano R^2. Assim, qualquer ponto dessa reta é uma solução do sistema.

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