Questão 3 Considere a transformação linear dada por , onde . Responda as perguntas e justifique.
b) O vetor u=[c7 1 -7] está na imagem de T?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear $ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $ definida por $ T(x) = A x $, onde $ A $ é uma matriz $ 3 \times 3 $. A pergunta é: O vetor $ u = T: R^3 R^3 $ está na imagem de $ T $?
Para resolver isso, precisamos verificar se existe algum vetor $ x $ em $ \mathbb{R}^{3} $ tal que quando multiplicamos a matriz $ A $ por $ x $, obtemos o vetor $ u $. Basicamente, estamos resolvendo o sistema de equações $ A x = u $.
Passo 2
Vamos escrever a matriz $ A $ e o vetor $ u $:
A
Nosso objetivo é encontrar um vetor $ x = u $ que satisfaça $ A x = u $.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações lineares correspondente a $ A x = u $:
A x = u
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ x_1, x_2 $ e $ x_3 $.
Passo 4
Vamos usar o método da substituição ou eliminação para resolver o sistema. Primeiro, da primeira equação, podemos isolar $ x_1 $:
x1
Agora, substituímos $ x_1 $ nas outras equações.
Passo 5
Substituindo $ x_1 $ na segunda equação:
x1
Simplificando:
3(7 - 4x2 + 4x3) - 3x2 - 2x3 = 1
Passo 6
Agora, substituímos $ x_1 $ na terceira equação:
x1
Simplificando:
-5(7 - 4x2 + 4x3) + x2 + 6x3 = -7
Passo 7
Observamos que as duas equações resultantes são iguais:
3x2 - 2x3 = 4
Isso significa que o sistema tem infinitas soluções. Vamos expressar $ x_2 $ em termos de $ x_3 $:
x2
Passo 8
Agora, substituímos $ x_2 $ na expressão de $ x_1 $:
x2
Passo 9
Portanto, as soluções do sistema são:
x = 53 + 4x33 4 + 2x33 x3 , para qualquer x3 in R
Isso mostra que existe pelo menos um vetor $ x $ que satisfaz $ A x = u $.
Resposta
Sim, o vetor $ u = u = 7 1 -7 $ está na imagem de $ T $.