Questão 7 Calcule
\int_{0}^{1} e^{x} d x
utilizando a regra do trapézio \operatorname{com} n=1 e Gauss-Legendre com dois pontos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx
usando duas técnicas de quadratura numérica: a regra do trapézio com n=1 e a fórmula de Gauss–Legendre de dois pontos. Vamos precisar da fórmula do trapézio e da mudança de variável para usar os nós \pm1/\sqrt{3} em [-1,1].

Passo 2

Regra do trapézio com n=1. Aqui a=0, b=1, h=(b-a)/1=1. A fórmula é
T = \frac{h}{2}\bigl[f(a)+f(b)\bigr]
portanto
T = \frac{1}{2}\bigl[e^{0}+e^{1}\bigr] = \frac{1+e}{2}.

Passo 3

Aproximando e\approx2,71828, fica
T \approx \frac{1+2,71828}{2} = 1,85914.

Passo 4

Gauss–Legendre de dois pontos em [0,1]. Os nós em [-1,1] são t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}} e t_{2}=+\frac{1}{\sqrt{3}}, com pesos w_{1}=w_{2}=1. A transformação é
x = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}\,t = \frac12 + \frac12\,t,
e a fórmula vira
I \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{2} w_{i}\,f\!\bigl(x_{i}\bigr) = \frac{1}{2}\Bigl[e^{\frac12-\frac{1}{2\sqrt3}} + e^{\frac12+\frac{1}{2\sqrt3}}\Bigr].

Passo 5

Calculando numericamente,
x_{1}=0,5-\frac{1}{2\sqrt3}\approx0,21133,\quad x_{2}=0,5+\frac{1}{2\sqrt3}\approx0,78867,
e^{x_{1}}\approx1,2353,\quad e^{x_{2}}\approx2,2008,
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I \approx \frac{1}{2}\bigl(1,2353 + 2,2008\bigr) = 1,71805.

Resposta

Regra do trapézio n=1: \displaystyle \frac{1+e}{2}\approx1,85914
Gauss–Legendre (2 pontos): \displaystyle \frac12\bigl[e^{0,5-1/(2\sqrt3)}+e^{0,5+1/(2\sqrt3)}\bigr]\approx1,71805

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