Uma maneira de se calcular o valor da derivada de uma função em um ponto x_{0}, quando não se conhece a expressão analítica da mesma, é usar uma tabela para formar um polinômio que aproxime a função, derivar então esse polinômio e avaliar em x=x_{0}. Dada a tabela:
x 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65
f(x) -1,52 1,51 1,49 1,47 1,44 1,42 1,39
calcule um valor aproximado para f^{\prime}(0,52) usando polinômio de interpolação de grau 2 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos valores de uma função f em vários pontos entre 0{,}35 e 0{,}65 e queremos aproximar f'(0{,}52) usando um polinômio interpolador de grau 2. Para isso vamos escolher os três nós mais próximos de x=0{,}52, construir o polinômio de Lagrange, derivar e avaliar em x=0{,}52.

Passo 2

Escolha dos nós: como 0{,}52 está entre 0{,}50 e 0{,}55, os três valores mais próximos são (x_1,f_1)=(0{,}45,1{,}49), (x_2,f_2)=(0{,}50,1{,}47) e (x_3,f_3)=(0{,}55,1{,}44).
O polinômio de interpolação de Lagrange é
P_2(x)=\sum_{i=1}^3 f_i\,L_i(x),
onde cada L_i(x) é dado por
L_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}, \quad L_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}, \quad L_3(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}.

Passo 3

Derivada do polinômio: como P_2'(x)=\sum_{i=1}^3 f_i\,L_i'(x), basta calcular L_i'(x) e avaliar em x=0{,}52.
Os denominadores são
(x_1-x_2)(x_1-x_3)=(-0{,}05)(-0{,}10)=0{,}005,
(x_2-x_1)(x_2-x_3)=(0{,}05)(-0{,}05)=-0{,}0025,
(x_3-x_1)(x_3-x_2)=(0{,}10)(0{,}05)=0{,}005.
Derivando cada base obtemos
L_1'(x)=\frac{(x-x_2)+(x-x_3)}{0{,}005}=\frac{2x-1{,}05}{0{,}005}, \quad L_2'(x)=\frac{(x-x_1)+(x-x_3)}{-0{,}0025}=\frac{2x-1{,}00}{-0{,}0025},
L_3'(x)=\frac{(x-x_1)+(x-x_2)}{0{,}005}=\frac{2x-0{,}95}{0{,}005}.
Avaliação em x=0{,}52
L_1'(0{,}52)=\frac{2\cdot0{,}52-1{,}05}{0{,}005}=\frac{-0{,}01}{0{,}005}=-2,
L_2'(0{,}52)=\frac{2\cdot0{,}52-1{,}00}{-0{,}0025}=\frac{0{,}04}{-0{,}0025}=-16, \quad L_3'(0{,}52)=\frac{2\cdot0{,}52-0{,}95}{0{,}005}=\frac{0{,}09}{0{,}005}=18.

Passo 4

Substituindo em P_2'(0{,}52)=\sum_{i=1}^3 f_i\,L_i'(0{,}52):
P_2'(0{,}52)=1{,}49\cdot(-2)+1{,}47\cdot(-16)+1{,}44\cdot18 =-2{,}98-23{,}52+25{,}92=-0{,}58.

Resposta

Um valor aproximado para f'(0{,}52) é -0{,}58.

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