Uma maneira de se calcular o valor da derivada de uma função em um ponto
, quando não se conhece a expressão analítica da mesma, é usar uma tabela para formar um polinômio que aproxime a função, derivar então esse polinômio e avaliar em
. Dada a tabela:
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
1,51
1,49
1,47
1,44
1,42
1,39
calcule um valor aproximado para
usando polinômio de interpolação de grau 2 .
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0,35 | 0,40 | 0,45 | 0,50 | 0,55 | 0,60 | 0,65 |
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1,51 | 1,49 | 1,47 | 1,44 | 1,42 | 1,39 |
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos valores de uma função
em vários pontos entre
e
e queremos aproximar
usando um polinômio interpolador de grau 2. Para isso vamos escolher os três nós mais próximos de
, construir o polinômio de Lagrange, derivar e avaliar em
.
Passo 2
Escolha dos nós: como
está entre
e
, os três valores mais próximos são
,
e
.
O polinômio de interpolação de Lagrange é
O polinômio de interpolação de Lagrange é
onde cada
é dado por
Passo 3
Derivada do polinômio: como
, basta calcular
e avaliar em
.
Os denominadores são
Os denominadores são
Derivando cada base obtemos
Avaliação em
dá
Passo 4
Substituindo em
:
Resposta
Um valor aproximado para
é
.