Questão 1)
Sendo y=f(x) uma função conhecida nos pontos:
i 0 1 2
\mathrm{x}_{\mathrm{i}} 0,9 1 1,1
\mathrm{y}_{\mathrm{i}} 0,6216 0,5403 0,4536
Utilizando interpolação polinomial pelo método de Lagrange, estimar o valor de y para \mathrm{x}=1,07.
RESP: \boldsymbol{P}_{\mathbf{2}}(\mathbf{1}, \mathbf{0 7})=\mathbf{0}, \mathbf{4 8 0 2}

Passo 1

O enunciado dá três pontos onde a função y=f(x) é conhecida e pede estimar y em x=1,07. Os dados são:
  • x_0=0,9,\quad y_0=0,6216.
  • x_1=1,\quad y_1=0,5403.
  • x_2=1,1,\quad y_2=0,4536.
O que se pede: estimar o valor de y em x=1,07 usando interpolação polinomial de Lagrange com polinômio de grau 2.

Passo 2

Introdução ao método (explicação didática):
  • A interpolação polinomial de Lagrange constrói um polinômio P_2(x) de grau menor ou igual a 2 que passa exatamente pelos três pontos dados.
  • A forma geral é
P_{2}(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_{i}(x),
onde cada L_i(x) é o polinômio de base de Lagrange que vale 1 em x_i e 0 em x_j para j\neq i.
  • A fórmula de L_i(x) (explicando cada símbolo): para i\in\{0,1,2\},
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui x é o ponto onde avaliamos o polinômio; x_i e x_j são os abscissas dos pontos conhecidos. A ideia é que cada L_i “seleciona” o y_i quando somamos.

Passo 3

Calcular explicitamente cada L_i(x) substituindo os x_i:
  • Para i=0:
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}.
Substituindo x_0=0,9, x_1=1, x_2=1,1:
(x_0-x_1)=0,9-1=-0,1,\qquad (x_0-x_2)=0,9-1,1=-0,2,
logo o denominador é
(x_0-x_1)(x_0-x_2)=(-0,1)\cdot(-0,2)=0,02.
Portanto
L_0(x)=\frac{(x-1)(x-1,1)}{0,02}.
  • Para i=1:
L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}.
Substituindo,
(x_1-x_0)=1-0,9=0,1,\qquad (x_1-x_2)=1-1,1=-0,1,
denominador =0,1\cdot(-0,1)=-0,01. Assim
L_1(x)=\frac{(x-0,9)(x-1,1)}{-0,01}.
  • Para i=2:
L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.
Substituindo,
(x_2-x_0)=1,1-0,9=0,2,\qquad (x_2-x_1)=1,1-1=0,1,
denominador =0,2\cdot0,1=0,02. Logo
L_2(x)=\frac{(x-0,9)(x-1)}{0,02}.

Passo 4

Avaliar cada L_i no ponto x=1,07. Vou mostrar as subtrações e multiplicações passo a passo (sem pular etapas).
  • Calcular diferenças básicas:
x-1 = 1,07-1 = 0,07,
x-1,1 = 1,07-1,1 = -0,03,
x-0,9 = 1,07-0,9 = 0,17.
  • Avaliar L_0(1,07):
L_0(1,07)=\frac{(1,07-1)(1,07-1,1)}{0,02}=\frac{0,07\cdot(-0,03)}{0,02}.
Calcule o numerador:
0,07\cdot(-0,03)=-0,0021.
Dividindo:
L_0(1,07)=\frac{-0,0021}{0,02}=-0,105.
  • Avaliar L_1(1,07):
L_1(1,07)=\frac{(1,07-0,9)(1,07-1,1)}{-0,01}=\frac{0,17\cdot(-0,03)}{-0,01}.
Numerador:
0,17\cdot(-0,03)=-0,0051.
Dividindo:
L_1(1,07)=\frac{-0,0051}{-0,01}=0,51.
  • Avaliar L_2(1,07):
L_2(1,07)=\frac{(1,07-0,9)(1,07-1)}{0,02}=\frac{0,17\cdot0,07}{0,02}.
Numerador:
0,17\cdot0,07=0,0119.
Dividindo:
L_2(1,07)=\frac{0,0119}{0,02}=0,595.
Verificação rápida (boa prática): somando as bases obtém-se
L_0(1,07)+L_1(1,07)+L_2(1,07)=-0,105+0,51+0,595=1,
como deve acontecer para polinômios de Lagrange — sinal de que os cálculos intermediários estão coerentes.

Passo 5

Construir P_2(1,07) combinando os y_i com os L_i(1,07):
P_2(1,07)=y_0L_0(1,07)+y_1L_1(1,07)+y_2L_2(1,07).
Substituindo os valores numéricos (vou multiplicar termo a termo):
  • Primeiro termo:
y_0L_0(1,07)=0,6216\cdot(-0,105)=-0,065268.
  • Segundo termo:
y_1L_1(1,07)=0,5403\cdot0,51=0,275553.
  • Terceiro termo:
y_2L_2(1,07)=0,4536\cdot0,595=0,269892.
Somando os três termos:
P_2(1,07)=-0,065268+0,275553+0,269892=0,480177.
Arredondando o resultado para quatro casas decimais (padrão comum em tabelas): 0,4802.

Resposta

P_{2}(1,07)=0,4802

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