Questão 1)
Sendo
uma função conhecida nos pontos:
i
0
1
2
0,9
1
1,1
0,6216
0,5403
0,4536
Utilizando interpolação polinomial pelo método de Lagrange, estimar o valor de y para
.
RESP:
Sendo
| i | 0 | 1 | 2 |
|
|
0,9 | 1 | 1,1 |
|
|
0,6216 | 0,5403 | 0,4536 |
RESP:
Passo 1
O enunciado dá três pontos onde a função
é conhecida e pede estimar
em
. Os dados são:
-
. -
. -
.
O que se pede: estimar o valor de
em
usando interpolação polinomial de Lagrange com polinômio de grau
.
Passo 2
Introdução ao método (explicação didática):
- A interpolação polinomial de Lagrange constrói um polinômio
de grau menor ou igual a que passa exatamente pelos três pontos dados. - A forma geral é
onde cada
é o polinômio de base de Lagrange que vale
em
e
em
para
.
- A fórmula de
(explicando cada símbolo): para ,
Aqui
é o ponto onde avaliamos o polinômio;
e
são os abscissas dos pontos conhecidos. A ideia é que cada
“seleciona” o
quando somamos.
Passo 3
Calcular explicitamente cada
substituindo os
:
- Para
:
Substituindo
,
,
:
logo o denominador é
Portanto
- Para
:
Substituindo,
denominador
. Assim
- Para
:
Substituindo,
denominador
. Logo
Passo 4
Avaliar cada
no ponto
. Vou mostrar as subtrações e multiplicações passo a passo (sem pular etapas).
- Calcular diferenças básicas:
- Avaliar
:
Calcule o numerador:
Dividindo:
- Avaliar
:
Numerador:
Dividindo:
- Avaliar
:
Numerador:
Dividindo:
Verificação rápida (boa prática): somando as bases obtém-se
como deve acontecer para polinômios de Lagrange — sinal de que os cálculos intermediários estão coerentes.
Passo 5
Construir
combinando os
com os
:
Substituindo os valores numéricos (vou multiplicar termo a termo):
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando os três termos:
Arredondando o resultado para quatro casas decimais (padrão comum em tabelas):
.