A raiz de uma função pode ser aproximada pela raiz do seu polinômio de interpolação. Use uma parábola para determinar a raiz da função tabelada a seguir:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 0,841 0,909 0,141 -0,757 -0,959 -0,279

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de uma função tabelada usando o polinômio de interpolação de grau 2 (parábola). Como a mudança de sinal de f ocorre entre x=3 (onde f(3)=0,141>0) e x=4 (onde f(4)=-0,757<0), vamos interpolar nos três pontos
(2,\,f(2)=0,909),\quad(3,\,f(3)=0,141),\quad(4,\,f(4)=-0,757)
usando a forma de Newton com diferenças divididas.

Passo 2

Calculemos as diferenças divididas de primeira e segunda ordem:
f[x_0,x_1] =\frac{f(3)-f(2)}{3-2} =\frac{0,141 - 0,909}{1} =-0,768,
f[x_1,x_2] =\frac{f(4)-f(3)}{4-3} =\frac{-0,757 - 0,141}{1} =-0,898,
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{4-2} =\frac{-0,898 - \bigl(-0,768\bigr)}{2} =\frac{-0,130}{2} =-0,065.

Passo 3

A forma de Newton do polinômio de grau 2 é
p(x) =f(2) + (x-2)\,f[x_0,x_1] + (x-2)(x-3)\,f[x_0,x_1,x_2].
Substituindo os valores:
p(x) =0,909 -0,768\,(x-2) -0,065\,(x-2)(x-3).

Passo 4

Para achar a raiz aproximada, resolvemos p(x)=0. Seja t=x-2, então x-3=t-1 e
0.909 -0.768\,t -0.065\,t(t-1)=0 \;\Longrightarrow\; 0.065\,t^2 +0.703\,t -0.909=0.
As soluções são
t=\frac{-0.703\pm\sqrt{0.703^2-4\cdot0.065\cdot(-0.909)}}{2\cdot0.065}
\Longrightarrow t\approx 1.167\quad\text{ou}\quad t\approx -11.98.
Convertendo de volta, x=t+2, só a raiz em [3,4] faz sentido:
x\approx 2 + 1.167 = 3.167.

Resposta

A raiz aproximada pelo polinômio de grau 2 é
x\approx 3,17.

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