Questāo 7) ( E X T R A ) Calcule a raíz cúbica de 7 usando o Método da Bissecçāo. Use o \epsilon=0.0001.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pede-se calcular a raiz cúbica de \,7\, usando o Método da Bissecção.
  • A tolerância (precisão desejada) é \epsilon=0{,}0001.
  • Informação usada: vou resolver a equação \;f(x)=x^{3}-7=0\; e buscar um x que zere f.
  • Observação inicial (útil): \;f(1)=1^{3}-7=-6<0\; e \;f(2)=2^{3}-7=1>0\;, portanto existe uma raiz em [1,2] (há mudança de sinal).

Passo 2

Breve explicação do Método da Bissecção (passo a passo teórico).
  • A ideia: se f é contínua em [a,b] e f(a)\,f(b)<0, então existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Tomamos o ponto médio \;m=\dfrac{a+b}{2}\; e avaliamos \;f(m).
  • Se f(m)=0 paramos; se f(m) tem o mesmo sinal de f(a), substituímos a\leftarrow m; caso contrário, substituímos b\leftarrow m.
  • Repetimos até que o tamanho do intervalo seja suficientemente pequeno. Critério que usaremos: parar quando \dfrac{b-a}{2}<\epsilon. Assim garantimos que o erro absoluto na raiz aproximada é menor que \epsilon.

Passo 3

Definindo função e intervalo inicial com justificativa.
  • Definimos \;f(x)=x^{3}-7.
  • Escolhemos o intervalo inicial [a_{0},b_{0}]=[1,2] porque \;f(1)=-6<0\; e \;f(2)=1>0\;. Portanto há raiz em [1,2].
  • Critério de parada: \dfrac{b-a}{2}<0{,}0001.

Passo 4

Iteração 1:
  • \;a=1,\; b=2.
  • \;m_{1}=\dfrac{1+2}{2}=1{,}5.
  • \;f(1{,}5)=1{,}5^{3}-7=3{,}375-7=-3{,}625<0.
  • Como f(m_{1}) tem mesmo sinal que f(a), substituímos a\leftarrow m_{1}. Novo intervalo: [1{,}5,2].

Passo 5

Iteração 2:
  • \;a=1{,}5,\; b=2.
  • \;m_{2}=\dfrac{1{,}5+2}{2}=1{,}75.
  • \;f(1{,}75)=1{,}75^{3}-7=5{,}359375-7=-1{,}640625<0.
  • f(m_{2}) negativo \Rightarrow a\leftarrow m_{2}. Novo intervalo: [1{,}75,2].

Passo 6

Iteração 3:
  • \;a=1{,}75,\; b=2.
  • \;m_{3}=\dfrac{1{,}75+2}{2}=1{,}875.
  • \;f(1{,}875)=1{,}875^{3}-7=6{,}591796875-7=-0{,}408203125<0.
  • f(m_{3}) negativo \Rightarrow a\leftarrow m_{3}. Novo intervalo: [1{,}875,2].

Passo 7

Iteração 4:
  • \;a=1{,}875,\; b=2.
  • \;m_{4}=\dfrac{1{,}875+2}{2}=1{,}9375.
  • \;f(1{,}9375)=1{,}9375^{3}-7=7{,}2724609375-7=0{,}2724609375>0.
  • f(m_{4}) positivo \Rightarrow b\leftarrow m_{4}. Novo intervalo: [1{,}875,1{,}9375].

Passo 8

Iteração 5:
  • \;a=1{,}875,\; b=1{,}9375.
  • \;m_{5}=\dfrac{1{,}875+1{,}9375}{2}=1{,}90625.
  • \;f(1{,}90625)=1{,}90625^{3}-7\approx6{,}92718505859375-7=-0{,}07281494140625<0.
  • f(m_{5}) negativo \Rightarrow a\leftarrow m_{5}. Novo intervalo: [1{,}90625,1{,}9375].

Passo 9

Iteração 6:
  • \;a=1{,}90625,\; b=1{,}9375.
  • \;m_{6}=\dfrac{1{,}90625+1{,}9375}{2}=1{,}921875.
  • Observação exata: 1{,}921875=\dfrac{123}{64} e \left(\dfrac{123}{64}\right)^{3}=\dfrac{1860867}{262144}\approx7{,}1024684906.
  • \;f(1{,}921875)\approx7{,}1024684906-7=0{,}1024684906>0.
  • f(m_{6}) positivo \Rightarrow b\leftarrow m_{6}. Novo intervalo: [1{,}90625,1{,}921875].

Passo 10

Iteração 7:
  • \;a=1{,}90625,\; b=1{,}921875.
  • \;m_{7}=\dfrac{1{,}90625+1{,}921875}{2}=1{,}9140625.
  • Observação exata: 1{,}9140625=\dfrac{245}{128} e \left(\dfrac{245}{128}\right)^{3}=\dfrac{14706125}{2097152}\approx7{,}0124303102.
  • \;f(1{,}9140625)\approx0{,}0124303102>0.
  • f(m_{7}) positivo \Rightarrow b\leftarrow m_{7}. Novo intervalo: [1{,}90625,1{,}9140625].

Passo 11

Iteração 8:
  • \;a=1{,}90625,\; b=1{,}9140625.
  • \;m_{8}=\dfrac{1{,}90625+1{,}9140625}{2}=1{,}91015625.
  • Observação exata: 1{,}91015625=\dfrac{489}{256} e \left(\dfrac{489}{256}\right)^{3}=\dfrac{116930169}{16777216}\approx6{,}9698209763.
  • \;f(1{,}91015625)\approx-0{,}0301790237<0.
  • f(m_{8}) negativo \Rightarrow a\leftarrow m_{8}. Novo intervalo: [1{,}91015625,1{,}9140625].

Passo 12

Iteração 9:
  • \;a=1{,}91015625,\; b=1{,}9140625.
  • \;m_{9}=\dfrac{1{,}91015625+1{,}9140625}{2}=1{,}912109375.
  • Observação exata: 1{,}912109375=\dfrac{979}{512} e \left(\dfrac{979}{512}\right)^{3}=\dfrac{938313739}{134217728}\approx6{,}990982.
  • \;f(1{,}912109375)\approx-0{,}009018<0.
  • f(m_{9}) negativo \Rightarrow a\leftarrow m_{9}. Novo intervalo: [1{,}912109375,1{,}9140625].

Passo 13

Iteração 10:
  • \;a=1{,}912109375,\; b=1{,}9140625.
  • \;m_{10}=\dfrac{1{,}912109375+1{,}9140625}{2}=1{,}9130859375.
  • Observação exata: 1{,}9130859375=\dfrac{1959}{1024} e \left(\dfrac{1959}{1024}\right)^{3}=\dfrac{7518017079}{1073741824}\approx7{,}001699.
  • \;f(1{,}9130859375)\approx0{,}001699>0.
  • f(m_{10}) positivo \Rightarrow b\leftarrow m_{10}. Novo intervalo: [1{,}912109375,1{,}9130859375].

Passo 14

Iteração 11:
  • \;a=1{,}912109375,\; b=1{,}9130859375.
  • \;m_{11}=\dfrac{1{,}912109375+1{,}9130859375}{2}=1{,}91259765625.
  • \;f(1{,}91259765625)\approx6{,}996340-7=-0{,}003660<0 (valor aproximado calculado por frações binárias).
  • f(m_{11}) negativo \Rightarrow a\leftarrow m_{11}. Novo intervalo: [1{,}91259765625,1{,}9130859375].

Passo 15

Iteração 12:
  • \;a=1{,}91259765625,\; b=1{,}9130859375.
  • \;m_{12}=\dfrac{1{,}91259765625+1{,}9130859375}{2}=1{,}912841796875.
  • Cálculo exato por frações binárias: \;m_{12}=\dfrac{7835}{4096} e \;m_{12}^{3}=\dfrac{480968907875}{68719476736}\approx6{,}999018.
  • \;f(1{,}912841796875)\approx-0{,}0009819<0.
  • f(m_{12}) negativo \Rightarrow a\leftarrow m_{12}. Novo intervalo: [1{,}912841796875,1{,}9130859375].

Passo 16

Iteração 13:
  • \;a=1{,}912841796875,\; b=1{,}9130859375.
  • \;m_{13}=\dfrac{1{,}912841796875+1{,}9130859375}{2}=1{,}9129638671875.
  • Cálculo exato por frações: \;m_{13}=\dfrac{15671}{8192} e \;m_{13}^{3}=\dfrac{3848487956711}{549755813888}\approx7{,}0003587.
  • \;f(1{,}9129638671875)\approx0{,}0003587>0.
  • f(m_{13}) positivo \Rightarrow b\leftarrow m_{13}. Novo intervalo: [1{,}912841796875,1{,}9129638671875].

Passo 17

Verificação do critério de parada e resultado final da bissecção.
  • Intervalo atual: [a,b]=[1{,}912841796875,\;1{,}9129638671875].
  • Metade do comprimento do intervalo é \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{1{,}9129638671875-1{,}912841796875}{2}=0{,}000030517578125<0{,}0001=\epsilon.
  • Portanto o critério \dfrac{b-a}{2}<\epsilon foi satisfeito e podemos parar.
  • A aproximação final da raiz pela bissecção é o ponto médio do intervalo final:
m_{\text{final}}=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{1{,}912841796875+1{,}9129638671875}{2}=1{,}912933349609375.

Resposta

\sqrt[3]{7}\approx 1{,}912933349609375

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