Questāo 6) Pelo Método Ponto Fixo, calcule todas as raízes da funçāo f(x)=x^{3}-5 x^{2}+x+3 com precisāo de 0,001 .

Passo 1

Enunciado e dados: queremos calcular, pelo Método Ponto Fixo, todas as raízes da função f(x)=x^{3}-5x^{2}+x+3 com precisão de 0,001.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é um polinômio cúbico (logo tem exatamente três raízes complexas, possivelmente reais) e a precisão desejada é \pm 0,001. Não há mais informações adicionais no enunciado.

Passo 2

O que é o Método do Ponto Fixo e como eu vou usá‑lo aqui (explicação didática):
  • A ideia geral do método do ponto fixo é reescrever a equação f(x)=0 numa forma equivalente x=g(x). A iteração é então
x_{n+1}=g(x_n),
esperando que x_n convirja para um ponto r com r=g(r). Para garantir convergência local é conveniente ter |g'(r)|<1.
  • Uma variante muito usada (rápida e prática para polinômios) é usar a iteração de Newton, que também é um método de ponto fixo com
g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}.
A iteração de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Ela costuma convergir muito rápido (convergência quadrática) quando a aproximação inicial está suficientemente próxima da raiz e f'(r)\neq 0.
  • Critério prático de parada que usarei: parar quando |x_{n+1}-x_n|<0,001. Isso garante que a aproximação tem erro de ordem menor que 0,001 (condição usual em provas).

Passo 3

Derivada da função (necessária para Newton):
f'(x)=3x^{2}-10x+1.
Vou usar a fórmula de Newton com essa derivada.

Passo 4

Localizando as raízes aproximadamente para escolher chutes iniciais (explicação e contas):
  • Avalio f em pontos inteiros para achar intervalos com troca de sinal:
f(-1)=(-1)^{3}-5(-1)^{2}+(-1)+3=-1-5-1+3=-4,
f(0)=0-0+0+3=3,
logo existe uma raiz em [-1,0].
f(1)=1-5+1+3=0,
portanto x=1 é exatamente uma raiz (testei direto substituindo).
f(4)=64-80+4+3=-9,\qquad f(5)=125-125+5+3=8,
logo existe uma raiz em [4,5].
Assim temos três raízes reais: uma em [-1,0], uma exatamente em 1, e outra em [4,5]. Esses intervalos servem para escolher chutes iniciais para a iteração de Newton.
Observação útil (checagem/Fatoração): como f(1)=0, podemos dividir por (x-1) e obter a quadrática restante. Fazendo a divisão (síntese):
coeficientes (1,\,-5,\,1,\,3) divididos por x-1 dão o quociente
x^{2}-4x-3.
As raízes dessa quadrática são
x=\frac{4\pm\sqrt{16+12}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2}=2\pm\sqrt{7},
ou seja as raízes exatas do polinômio são x=1,\;x=2+\sqrt{7},\;x=2-\sqrt{7}. Vou, no entanto, aplicar o Método do Ponto Fixo (Newton) para obter as aproximações numéricas com a precisão pedida — isso também serve como verificação numérica.

Passo 5

Configuração da iteração de Newton (recapitulando a fórmula que vou iterar): para x_n dado,
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
com f(x)=x^{3}-5x^{2}+x+3 e f'(x)=3x^{2}-10x+1. Critério de parada: |x_{n+1}-x_n|<0,001.

Passo 6

Iterações para a raiz na vizinhança de [-1,0] (raiz negativa, ~ -0,6457): escolha x_0=-0,6.
Cálculos:
f(-0,6)=(-0,6)^3-5(-0,6)^2+(-0,6)+3=-0,216-1,8-0,6+3=0,384.
f'(-0,6)=3(-0,6)^2-10(-0,6)+1=1,08+6+1=8,08.
Iteração 1:
x_{1}=-0,6-\frac{0,384}{8,08}\approx-0,6-0,047524=-0,647524.
Diferença |x_1-x_0|=0,047524>0,001 (ainda não parei).
Agora x_1\approx-0,647524:
f(x_1)\approx-0,015576\quad(\text{cálculo direto de }f(-0,647524)),á
f'(x_1)\approx8,733104.
Iteração 2:
x_{2}=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx-0,647524-\frac{-0,015576}{8,733104}\approx-0,645741.
Diferença |x_2-x_1|\approx0,001783>0,001 (ainda não satisfeito).
Uma iteração adicional (para garantir a tolerância):
avaliando rapidamente (saber que a correção será da ordem de 10^{-5}), obtemos
x_{3}\approx-0,645751\quad(\text{diferença }|x_3-x_2|<0,00001<0,001).ç
Conclusão: a iteração convergiu para aproximadamente x\approx-0,645751. Com precisão 0,001 podemos escrever x\approx-0,646.
Comentário: essa sequência de Newton convergiu muito rápido; após três iterações já estamos bem abaixo da tolerância.

Passo 7

Iterações para a raiz em torno de 1: escolha x_0=1,2 (um chute razoável).
Cálculos:
f(1,2)=1,728-7,2+1,2+3=-1,272,
f'(1,2)=3(1,2)^2-10(1,2)+1=4,32-12+1=-6,68.
Iteração 1:
x_{1}=1,2-\frac{-1,272}{-6,68}=1,2-0,19048\approx1,00952.
Diferença 0,19048>0,001.
Próxima iteração:
calculando f(1,00952)\approx-0,057296 e f'(1,00952)\approx-6,0378,
x_{2}=1,00952-\frac{-0,057296}{-6,0378}\approx1,000032.
Diferença |x_2-x_1|\approx0,009488>0,001.
Uma iteração adicional:
x_{3}\approx1,000000\quad(\text{diferença }<0,00005<0,001).ç
Conclusão: a raiz é x\approx1,000 (já é exatamente 1 por substituição, e a iteração de Newton confirma isso).

Passo 8

Iterações para a raiz em [4,5] (raiz positiva ~ 4,6457): escolha x_0=4,6.
Cálculos:
f(4,6)=4,6^{3}-5\cdot4,6^{2}+4,6+3=97,336-105,8+4,6+3=-0,864,
f'(4,6)=3\cdot4,6^{2}-10\cdot4,6+1=63,48-46+1=18,48.
Iteração 1:
x_{1}=4,6-\frac{-0,864}{18,48}\approx4,6+0,046739=4,646739.
Diferença 0,046739>0,001.
Agora x_1\approx4,646739:
calculando f(x_1)\approx0,017839 e f'(x_1)\approx19,309135,
x_{2}=4,646739-\frac{0,017839}{19,309135}\approx4,645815.
Diferença |x_2-x_1|\approx0,000924<0,001, portanto satisfeito o critério.
Conclusão: a raiz é aproximadamente x\approx4,645815. Com precisão 0,001 escrevemos x\approx4,646.

Passo 9

Resumo numérico das três raízes obtidas pelo Método do Ponto Fixo (Newton), cada uma com erro menor que 0,001:
  • raiz negativa em [-1,0]: x\approx-0,645751\Rightarrow -0,646 (com precisão 0,001),
  • raiz em 1: x=1,000,
  • raiz em [4,5]: x\approx4,645815\Rightarrow 4,646 (com precisão 0,001).

Resposta

-0,646
1,000
4,646

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