Questāo 6) Pelo Método Ponto Fixo, calcule todas as raízes da funçāo
com precisāo de 0,001 .
Passo 1
Enunciado e dados: queremos calcular, pelo Método Ponto Fixo, todas as raízes da função
com precisão de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é um polinômio cúbico (logo tem exatamente três raízes complexas, possivelmente reais) e a precisão desejada é . Não há mais informações adicionais no enunciado.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é um polinômio cúbico (logo tem exatamente três raízes complexas, possivelmente reais) e a precisão desejada é
Passo 2
O que é o Método do Ponto Fixo e como eu vou usá‑lo aqui (explicação didática):
- A ideia geral do método do ponto fixo é reescrever a equação
numa forma equivalente . A iteração é então
esperando que
convirja para um ponto
com
. Para garantir convergência local é conveniente ter
.
- Uma variante muito usada (rápida e prática para polinômios) é usar a iteração de Newton, que também é um método de ponto fixo com
A iteração de Newton é
Ela costuma convergir muito rápido (convergência quadrática) quando a aproximação inicial está suficientemente próxima da raiz e
.
- Critério prático de parada que usarei: parar quando
. Isso garante que a aproximação tem erro de ordem menor que (condição usual em provas).
Passo 3
Derivada da função (necessária para Newton):
Vou usar a fórmula de Newton com essa derivada.
Passo 4
Localizando as raízes aproximadamente para escolher chutes iniciais (explicação e contas):
- Avalio
em pontos inteiros para achar intervalos com troca de sinal:
logo existe uma raiz em
.
portanto
é exatamente uma raiz (testei direto substituindo).
logo existe uma raiz em
.
Assim temos três raízes reais: uma em , uma exatamente em
, e outra em
. Esses intervalos servem para escolher chutes iniciais para a iteração de Newton.
Assim temos três raízes reais: uma em
Observação útil (checagem/Fatoração): como
, podemos dividir por
e obter a quadrática restante. Fazendo a divisão (síntese):
coeficientes divididos por
dão o quociente
coeficientes
As raízes dessa quadrática são
ou seja as raízes exatas do polinômio são
. Vou, no entanto, aplicar o Método do Ponto Fixo (Newton) para obter as aproximações numéricas com a precisão pedida — isso também serve como verificação numérica.
Passo 5
Configuração da iteração de Newton (recapitulando a fórmula que vou iterar): para
dado,
com
e
. Critério de parada:
.
Passo 6
Iterações para a raiz na vizinhança de
(raiz negativa, ~
): escolha
.
Cálculos:
Iteração 1:
Diferença
(ainda não parei).
Agora
:
Iteração 2:
Diferença
(ainda não satisfeito).
Uma iteração adicional (para garantir a tolerância):
avaliando rapidamente (saber que a correção será da ordem de ), obtemos
avaliando rapidamente (saber que a correção será da ordem de
Conclusão: a iteração convergiu para aproximadamente
. Com precisão
podemos escrever
.
Comentário: essa sequência de Newton convergiu muito rápido; após três iterações já estamos bem abaixo da tolerância.
Passo 7
Iterações para a raiz em torno de
: escolha
(um chute razoável).
Cálculos:
Iteração 1:
Diferença
.
Próxima iteração:
calculando e
,
calculando
Diferença
.
Uma iteração adicional:
Conclusão: a raiz é
(já é exatamente
por substituição, e a iteração de Newton confirma isso).
Passo 8
Iterações para a raiz em
(raiz positiva ~
): escolha
.
Cálculos:
Iteração 1:
Diferença
.
Agora
:
calculando e
,
calculando
Diferença
, portanto satisfeito o critério.
Conclusão: a raiz é aproximadamente
. Com precisão
escrevemos
.
Passo 9
Resumo numérico das três raízes obtidas pelo Método do Ponto Fixo (Newton), cada uma com erro menor que
:
- raiz negativa em
: (com precisão ), - raiz em
: , - raiz em
: (com precisão ).