Questão 9 - Calcule o valor aproximado da integral
Usando a regra simples do trapézio simples (ou seja, com
subintervalo);
Usando a regra simples do trapézio simples (ou seja, com
Passo 1
O enunciado pede para approximar a integral
usando a regra do trapézio simples, isto é, com
subintervalo.
Informações dadas: o intervalo de integração é , a função é
e devemos aplicar a regra do trapézio com exatamente um subintervalo.
Informações dadas: o intervalo de integração é
Passo 2
Apresentando a regra do trapézio simples (fórmula e significado das variáveis).
A regra do trapézio com subintervalos aproxima a integral por somas de trapézios; no caso simples com
temos apenas um trapézio no intervalo inteiro
. A fórmula para um subintervalo é
A regra do trapézio com
onde:
e
são os limites do intervalo (
,
aqui),
é o número de subintervalos (aqui
),
é a largura do subintervalo, dada por
Explicação curta: visualmente substituímos a curva por um trapézio que tem como bases as alturas
e
e como “largura” a distância
; a área do trapézio é
.
Passo 3
Calcular
para o nosso caso.
Passo 4
Avaliar a função nos extremos
e
.
Agora precisamos de um valor numérico para
. Usando a aproximação padrão da função exponencial (ou uma calculadora), temos
Passo 5
Substituir na fórmula do trapézio e calcular passo a passo.
Primeiro somar as alturas:
Primeiro somar as alturas:
Multiplicar por
:
Passo 6
Fazer a multiplicação final (mostrando a conta):
Arredondando de forma razoável para seis casas decimais (ou conforme a precisão desejada), obtemos
Passo 7
Comentário didático sobre precisão: a regra do trapézio com apenas um subintervalo é muito grosseira quando a função varia bastante no intervalo. Para ter uma ideia do erro, a fórmula de erro do trapézio (cota) diz que existe
tal que
e uma cota em valor absoluto é
Para
temos (derivando)
No intervalo
o valor absoluto máximo de
ocorre em
(pois
e nos demais pontos
é muito menor), então
. Assim
Isso mostra que a cota teórica é grande (a aproximação com
pode ser péssima). De fato, a integral exata (conhecendo a função erro) é cerca de
, então o erro real aqui é aproximadamente
. Conclusão prática: para um resultado útil é preciso usar mais subintervalos (maior
).