Questão 9 - Calcule o valor aproximado da integral I=\int_{0}^{3} e^{-\left(x^{2}\right)} d x
Usando a regra simples do trapézio simples (ou seja, com \mathrm{M}=1 subintervalo);

Passo 1

O enunciado pede para approximar a integral \displaystyle I=\int_{0}^{3} e^{-x^{2}}\,dx usando a regra do trapézio simples, isto é, com M=1 subintervalo.
Informações dadas: o intervalo de integração é [0,3], a função é f(x)=e^{-x^{2}} e devemos aplicar a regra do trapézio com exatamente um subintervalo.

Passo 2

Apresentando a regra do trapézio simples (fórmula e significado das variáveis).
A regra do trapézio com M subintervalos aproxima a integral por somas de trapézios; no caso simples com M=1 temos apenas um trapézio no intervalo inteiro [a,b]. A fórmula para um subintervalo é
T=\frac{h}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr),
onde:
\;a e \;b são os limites do intervalo ( a=0, b=3 aqui),
\;M é o número de subintervalos (aqui \;M=1),
\;h é a largura do subintervalo, dada por
h=\frac{b-a}{M}.
Explicação curta: visualmente substituímos a curva por um trapézio que tem como bases as alturas f(a) e f(b) e como “largura” a distância h; a área do trapézio é \tfrac{h}{2}(f(a)+f(b)).

Passo 3

Calcular h para o nosso caso.
h=\frac{b-a}{M}=\frac{3-0}{1}=3.

Passo 4

Avaliar a função nos extremos a=0 e b=3.
f(0)=e^{-0^{2}}=e^{0}=1.
f(3)=e^{-3^{2}}=e^{-9}.
Agora precisamos de um valor numérico para e^{-9}. Usando a aproximação padrão da função exponencial (ou uma calculadora), temos
e^{-9}\approx 0,0001234098.

Passo 5

Substituir na fórmula do trapézio e calcular passo a passo.
Primeiro somar as alturas:
f(0)+f(3)=1+e^{-9}\approx 1+0,0001234098=1,0001234098.
Multiplicar por \tfrac{h}{2}=\tfrac{3}{2}=1{,}5:
T=\frac{3}{2}\cdot 1{,}0001234098 \approx 1{,}5\cdot 1{,}0001234098.

Passo 6

Fazer a multiplicação final (mostrando a conta):
1{,}5\times 1{,}0001234098 \approx 1{,}5001851147.
Arredondando de forma razoável para seis casas decimais (ou conforme a precisão desejada), obtemos
T\approx 1{,}500185.

Passo 7

Comentário didático sobre precisão: a regra do trapézio com apenas um subintervalo é muito grosseira quando a função varia bastante no intervalo. Para ter uma ideia do erro, a fórmula de erro do trapézio (cota) diz que existe \xi\in[a,b] tal que
E_T = -\frac{(b-a)^{3}}{12M^{2}}f''(\xi),
e uma cota em valor absoluto é
|E_T|\le \frac{(b-a)^{3}}{12M^{2}}\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
Para f(x)=e^{-x^{2}} temos (derivando)
f''(x)=(-2+4x^{2})e^{-x^{2}}.
No intervalo [0,3] o valor absoluto máximo de f'' ocorre em x=0 (pois f''(0)=-2 e nos demais pontos |f''| é muito menor), então \max|f''(x)|\approx 2. Assim
|E_T|\le \frac{(3-0)^{3}}{12\cdot 1^{2}}\cdot 2=\frac{27}{12}\cdot 2=4{,}5.
Isso mostra que a cota teórica é grande (a aproximação com M=1 pode ser péssima). De fato, a integral exata (conhecendo a função erro) é cerca de 0{,}8862, então o erro real aqui é aproximadamente 1{,}500185-0{,}886207\approx 0{,}613978. Conclusão prática: para um resultado útil é preciso usar mais subintervalos (maior M).

Resposta

I\approx 1{,}500185

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