Questão 9 - Calcule o valor aproximado da integral I=\int_{0}^{3} e^{-\left(x^{2}\right)} d x
Usando a primeira regra de Simpson simples (ou seja, com \mathrm{M}=2 subintervalos iguais);

Passo 1

O enunciado pede para calcular, de forma aproximada, a integral
I=\int_{0}^{3} e^{-\left(x^{2}\right)}\,dx
usando a primeira regra de Simpson simples com M=2 subintervalos iguais.
Informações dadas: intervalo [0,3], função f(x)=e^{-x^{2}} e número de subintervalos M=2. O objetivo é aplicar a regra de Simpson simples e obter um valor numérico aproximado para I.

Passo 2

Explicando a regra de Simpson simples (didaticamente): dividimos o intervalo [a,b] em M=2 subintervalos iguais. Definimos
h=\frac{b-a}{2}, \qquad x_0=a,\qquad x_1=a+h,\qquad x_2=b.
A regra de Simpson simples aproxima f(x) por um polinômio quadrático que passa pelos pontos (x_0,f(x_0)), (x_1,f(x_1)), (x_2,f(x_2)) e integra esse polinômio exatamente. O resultado é a fórmula clássica
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Aqui h é a largura de cada subintervalo, f(x_0),f(x_1),f(x_2) são os valores da função nos nós, e os coeficientes 1,4,1 surgem da integração das funções base (Lagrange) do polinômio interpolador. Essa fórmula é a que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Calcular h para o nosso intervalo [0,3]:
h=\frac{b-a}{2}=\frac{3-0}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5.

Passo 4

Determinar os nós x_0,x_1,x_2:
x_0=0,\qquad x_1=0+h=1{,}5,\qquad x_2=3.

Passo 5

Calcular os valores da função nos nós:
f(x)=e^{-x^{2}}.
Logo
f(x_0)=f(0)=e^{0}=1,
f(x_1)=f(1{,}5)=e^{-(1{,}5)^{2}}=e^{-2{,}25}.
Para ter um número aproximado podemos usar e^{-2{,}25}=e^{-2}\,e^{-0{,}25}. Usando valores conhecidos e^{-2}\approx0{,}1353352832 e e^{-0{,}25}\approx0{,}7788007831, obtemos
f(1{,}5)=e^{-2{,}25}\approx 0{,}1053992246.
E
f(x_2)=f(3)=e^{-9}\approx 0{,}0001234098.

Passo 6

Aplicar a fórmula de Simpson:
\int_{0}^{3} e^{-x^{2}}\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Substituindo h=1{,}5 e os valores calculados:
\frac{h}{3}=\frac{1{,}5}{3}=0{,}5,
f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\approx 1 + 4\cdot 0{,}1053992246 + 0{,}0001234098.
Calculemos a soma:
4\cdot 0{,}1053992246 \approx 0{,}4215968984,
1 + 0{,}4215968984 + 0{,}0001234098 \approx 1{,}4217203082.
Agora multiplicando por 0{,}5:
0{,}5 \times 1{,}4217203082 \approx 0{,}7108601541.
Portanto a aproximação pelo método de Simpson simples é aproximadamente 0{,}7108601541.

Passo 7

Comentário final e incentivo: o valor obtido é uma aproximação com apenas dois subintervalos; a função e^{-x^{2}} tem curvatura significativa no intervalo, então se quiseres maior precisão na prova podes aumentar o número de subintervalos (usar a regra de Simpson composta). Mesmo assim, com o procedimento mostrado tu já sabes exatamente como aplicar a regra de Simpson simples em qualquer exercício parecido — e isso vale muito na hora da prova. Vai com calma, respira fundo, e confia no processo — tu consegue!

Resposta

\,0{,}7108601541

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