Questão 8 - Integral dupla

Calcule o valor aproximado da integral dupla, usando a segunda regra de Simpson simples.
I=\int_{3}^{6} \int_{2}^{8} \frac{1}{(x+y)^{2}} d x d y
ETAPA
  • Crie a tabela 1 com x e y divididos em três subintervalos iguais:
h_{x}=(8-2) / 3=2 \text { e } h_{y}=(6-3) / 3=1 \text {; }
  • Preencha a tabela 1 com os valores da função conjunta f(x, y)=1 /(x+y)^{2}. Por exemplo, em \mathrm{x}=6 e \mathrm{y}=4, temos f(6 ; 4)=1 /(6+4)^{2}=1 / 100=0,01.
  • Preencha a tabela 2, que é a tabela 1 multiplicada pelos coeficientes de Newton-Côtes da segunda Regra de Simpson (1/3/3/1). Por exemplo, para \mathrm{x}=6 e \mathrm{y}=4, temos c_{x} c_{y} f(x, y)=3 \cdot 3 \cdot f(6,4)=3 \cdot 3 \cdot \mathbf{0 , 0 1}=0,09;
  • Some de todos os valores da tabela 2 , obtendo assim \sum c_{x} c_{y} f(x, y);
  • Multiplique a soma obtida acima pelo produto 3 h_{x} / 8 e 3 h_{y} / 8
  • Assim, integral dupla será
I \approx \frac{3 h_{x}}{8} \cdot \frac{3 h_{y}}{8} \cdot \sum c_{x} c_{y} f(x, y)
Table 1: TABELA 1 - f(x, y)
\captionsetup{labelformat=empty}
\left(x_{i}, y_{i}\right) 3,0 4,0 5,0 6,0
2,0
4,0
6,0 0,01
8,0
Table 2: TABELA 2 -
\captionsetup{labelformat=empty}
c_{x} c_{y} f(x, y) 1 3 3 1
1
3
3 0,09
1

Passo 1

O enunciado pede o valor aproximado da integral dupla
I=\int_{3}^{6}\int_{2}^{8}\frac{1}{(x+y)^{2}}\,dx\,dy
usando a segunda regra de Simpson simples (Simpson 3/8). Informações dadas e pontos importantes:
  • Os intervalos e os passos: \,x\in[2,8] e \,y\in[3,6].
  • Calculado no enunciado: h_{x}=(8-2)/3=2 e h_{y}=(6-3)/3=1.
  • Os nós (valores de x e y) são x=\{2,\;4,\;6,\;8\},\qquad y=\{3,\;4,\;5,\;6\}.
  • A função é f(x,y)=\dfrac{1}{(x+y)^{2}}. O enunciado já deu um exemplo: f(6,4)=\dfrac{1}{(6+4)^{2}}=\dfrac{1}{100}=0,01.
  • O que precisamos entregar: montar a tabela de f nos 4\times4 nós, aplicar os coeficientes de Newton–Cotes da regra (coefs por eixo: 1,3,3,1), somar os termos ponderados e aplicar o fator da regra dupla para obter a aproximação de I.

Passo 2

Breve explicação da regra usada (didática e prática, como se eu estivesse te explicando na prova):
  • A regra de Simpson 3/8 (segunda regra de Simpson) para uma integral unidimensional em um intervalo dividido em 3 subintervalos (4 nós) usa pesos \{1,3,3,1\} e fator multiplicativo \dfrac{3h}{8}, onde h é o passo.
  • Para uma integral dupla em retângulo, usamos o produto tensorial da regra: aplicamos a regra em x e em y independentemente. Isso dá o fator global \left(\frac{3h_x}{8}\right)\left(\frac{3h_y}{8}\right)multiplicando a soma dupla dos valores f(x_i,y_j) ponderados pelos coeficientes c_{x_i}\cdot c_{y_j}, onde c_{x_i}\in\{1,3,3,1\} conforme x_i e idem para c_{y_j}.
  • Assim a fórmula prática que vamos aplicar é I\approx \left(\frac{3h_x}{8}\right)\left(\frac{3h_y}{8}\right)\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{4} c_{x_i}c_{y_j} f(x_i,y_j).

Passo 3

Calcular os valores de f(x,y)=\dfrac{1}{(x+y)^{2}} na grade 4\times4. Vou mostrar cálculo em cada nó (usar vírgula para decimais):
Para y=3:
\begin{aligned} f(2,3)&=\frac{1}{(2+3)^{2}}=\frac{1}{25}=0,04,\\\ f(4,3)&=\frac{1}{(4+3)^{2}}=\frac{1}{49}\approx0,02040816326530612,\\\ f(6,3)&=\frac{1}{(6+3)^{2}}=\frac{1}{81}\approx0,012345679012345678,\\\ f(8,3)&=\frac{1}{(8+3)^{2}}=\frac{1}{121}\approx0,008264462809917356. \end{aligned}
Para y=4:
\begin{aligned} f(2,4)&=\frac{1}{(2+4)^{2}}=\frac{1}{36}\approx0,027777777777777776,\\\ f(4,4)&=\frac{1}{(4+4)^{2}}=\frac{1}{64}=0,015625,\\\ f(6,4)&=\frac{1}{(6+4)^{2}}=\frac{1}{100}=0,01\quad\text{(valor do enunciado)},\\\ f(8,4)&=\frac{1}{(8+4)^{2}}=\frac{1}{144}\approx0,006944444444444444. \end{aligned}
Para y=5:
\begin{aligned} f(2,5)&=\frac{1}{(2+5)^{2}}=\frac{1}{49}\approx0,02040816326530612,\\\ f(4,5)&=\frac{1}{(4+5)^{2}}=\frac{1}{81}\approx0,012345679012345678,\\\ f(6,5)&=\frac{1}{(6+5)^{2}}=\frac{1}{121}\approx0,008264462809917356,\\\ f(8,5)&=\frac{1}{(8+5)^{2}}=\frac{1}{169}\approx0,005917159763313609. \end{aligned}
Para y=6:
\begin{aligned} f(2,6)&=\frac{1}{(2+6)^{2}}=\frac{1}{64}=0,015625,\\\ f(4,6)&=\frac{1}{(4+6)^{2}}=\frac{1}{100}=0,01,\\\ f(6,6)&=\frac{1}{(6+6)^{2}}=\frac{1}{144}\approx0,006944444444444444,\\\ f(8,6)&=\frac{1}{(8+6)^{2}}=\frac{1}{196}\approx0,005102040816326530. \end{aligned}
Observação: os valores acima formam a TABELA 1 pedida no enunciado (cada linha corresponde a um y, cada coluna a um x).

Passo 4

Aplicar os coeficientes de Newton–Cotes por eixo: c_x\in\{1,3,3,1\} para x=\{2,4,6,8\} e c_y\in\{1,3,3,1\} para y=\{3,4,5,6\}. O peso em cada nó é c_x c_y. Vou calcular os termos ponderados c_x c_y f(x,y) organizados por linha (por y):
Para y=3 (coeficiente c_y=1):
\begin{aligned} c_cf(2,3)&=1\cdot1\cdot0,04=0,04,\\\ c_cf(4,3)&=3\cdot1\cdot0,02040816326530612\approx0,06122448979591836,\\\ c_cf(6,3)&=3\cdot1\cdot0,012345679012345678\approx0,037037037037037034,\\\ c_cf(8,3)&=1\cdot1\cdot0,008264462809917356\approx0,008264462809917356. \end{aligned}
Para y=4 (coeficiente c_y=3):
\begin{aligned} c_cf(2,4)&=1\cdot3\cdot0,027777777777777776=0,08333333333333333,\\\ c_cf(4,4)&=3\cdot3\cdot0,015625=0,140625,\\\ c_cf(6,4)&=3\cdot3\cdot0,01=0,09\quad\text{(exemplo do enunciado)},\\\ c_cf(8,4)&=1\cdot3\cdot0,006944444444444444\approx0,020833333333333332. \end{aligned}
Para y=5 (coeficiente c_y=3):
\begin{aligned} c_cf(2,5)&=1\cdot3\cdot0,02040816326530612\approx0,06122448979591836,\\\ c_cf(4,5)&=3\cdot3\cdot0,012345679012345678\approx0,1111111111111111,\\\ c_cf(6,5)&=3\cdot3\cdot0,008264462809917356\approx0,0743801652892562,\\\ c_cf(8,5)&=1\cdot3\cdot0,005917159763313609\approx0,017751479289940827. \end{aligned}
Para y=6 (coeficiente c_y=1):
\begin{aligned} c_cf(2,6)&=1\cdot1\cdot0,015625=0,015625,\\\ c_cf(4,6)&=3\cdot1\cdot0,01=0,03,\\\ c_cf(6,6)&=3\cdot1\cdot0,006944444444444444\approx0,020833333333333332,\\\ c_cf(8,6)&=1\cdot1\cdot0,005102040816326530\approx0,00510204081632653. \end{aligned}
Esses valores formam a TABELA 2 (cada entrada é c_x c_y f(x,y)). Notei explicitamente o exemplo c_cf(6,4)=0,09 que o enunciado indicou.

Passo 5

Somar todos os termos ponderados para obter
S=\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{4} c_{x_i}c_{y_j} f(x_i,y_j).
Somando as quatro linhas calculadas:
\begin{aligned} \text{linha }y=3&:\;0,14652598964287276,\\\ \text{linha }y=4&:\;0,33479166666666666,\\\ \text{linha }y=5&:\;0,2644672454862265,\\\ \text{linha }y=6&:\;0,07156037414965986. \end{aligned}
Logo
S\approx 0,8173452759454258.

Passo 6

Aplicar o fator da regra dupla. Como h_x=2 e h_y=1,
\frac{3h_x}{8}=\frac{3\cdot2}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0,75, \qquad \frac{3h_y}{8}=\frac{3\cdot1}{8}=\frac{3}{8}=0,375.
O fator total é
\left(\frac{3h_x}{8}\right)\left(\frac{3h_y}{8}\right)=\frac{9}{32}=0,28125.
Portanto, pela fórmula do Passo 2,
I\approx \left(\frac{3h_x}{8}\right)\left(\frac{3h_y}{8}\right) S = \frac{9}{32}\cdot S.

Resposta

0,229878358859651

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