Questão 8 - Integral dupla
Calcule o valor aproximado da integral dupla, usando a segunda regra de Simpson simples.
ETAPA
- Crie a tabela 1 com x e y divididos em três subintervalos iguais:
- Preencha a tabela 1 com os valores da função conjunta
. Por exemplo, em
e
, temos
.
- Preencha a tabela 2, que é a tabela 1 multiplicada pelos coeficientes de Newton-Côtes da segunda Regra de Simpson (1/3/3/1). Por exemplo, para
e
, temos
;
- Some de todos os valores da tabela 2 , obtendo assim
;
- Multiplique a soma obtida acima pelo produto
e
- Assim, integral dupla será
Table 1: TABELA 1 -
\captionsetup{labelformat=empty}
3,0
4,0
5,0
6,0
2,0
4,0
6,0
0,01
8,0
Table 2: TABELA 2 -\captionsetup{labelformat=empty}
1
3
3
1
1
3
3
0,09
1
Table 1: TABELA 1 -
\captionsetup{labelformat=empty}
|
|
3,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 |
| 2,0 | ||||
| 4,0 | ||||
| 6,0 | 0,01 | |||
| 8,0 |
Table 2: TABELA 2 -
\captionsetup{labelformat=empty}
|
|
1 | 3 | 3 | 1 |
| 1 | ||||
| 3 | ||||
| 3 | 0,09 | |||
| 1 |
Passo 1
O enunciado pede o valor aproximado da integral dupla
usando a segunda regra de Simpson simples (Simpson 3/8). Informações dadas e pontos importantes:
- Os intervalos e os passos:
e . - Calculado no enunciado:
e . - Os nós (valores de
e ) são - A função é
. O enunciado já deu um exemplo: . - O que precisamos entregar: montar a tabela de
nos nós, aplicar os coeficientes de Newton–Cotes da regra (coefs por eixo: ), somar os termos ponderados e aplicar o fator da regra dupla para obter a aproximação de .
Passo 2
Breve explicação da regra usada (didática e prática, como se eu estivesse te explicando na prova):
- A regra de Simpson 3/8 (segunda regra de Simpson) para uma integral unidimensional em um intervalo dividido em
subintervalos (4 nós) usa pesos e fator multiplicativo , onde é o passo. - Para uma integral dupla em retângulo, usamos o produto tensorial da regra: aplicamos a regra em
e em independentemente. Isso dá o fator global multiplicando a soma dupla dos valores ponderados pelos coeficientes , onde conforme e idem para . - Assim a fórmula prática que vamos aplicar é
Passo 3
Calcular os valores de
na grade
. Vou mostrar cálculo em cada nó (usar vírgula para decimais):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Observação: os valores acima formam a TABELA 1 pedida no enunciado (cada linha corresponde a um
, cada coluna a um
).
Passo 4
Aplicar os coeficientes de Newton–Cotes por eixo:
para
e
para
. O peso em cada nó é
. Vou calcular os termos ponderados
organizados por linha (por
):
Para
(coeficiente
):
Para
(coeficiente
):
Para
(coeficiente
):
Para
(coeficiente
):
Esses valores formam a TABELA 2 (cada entrada é
). Notei explicitamente o exemplo
que o enunciado indicou.
Passo 5
Somar todos os termos ponderados para obter
Somando as quatro linhas calculadas:
Logo
Passo 6
Aplicar o fator da regra dupla. Como
e
,
O fator total é
Portanto, pela fórmula do Passo 2,
Resposta
0,229878358859651