Questão 5 - (Probabilidade) A função densidade de probabilidade do tempo de falha (X) de uma máquina é dada por
onde
é o tempo médio, em horas, entre falhas.
A probabilidade da máquina vir a falhar no intervalo de
horas de uso e depois de
horas de uso são obtidas, respectivamente, pelas integrais abaixo
Sabendo que que o tempo médio entre falhas é de
horas (ou seja, uma falha a cada 200 horas de uso), responda as perguntas a seguir usando a segunda regra de Simpson com passo de integração
horas. Qual a probabilidade da máquina falhar:
depois de 200 horas de uso, ou seja,
?
depois de 200 horas de uso, ou seja,
Passo 1
O enunciado dá a densidade do tempo de falha
:
com
horas. Pede-se a probabilidade da máquina falhar depois de
horas, isto é
Além disso, o enunciado solicita usar a “segunda regra de Simpson” com passo de integração
horas.
Passo 2
Vamos verificar se é possível aplicar a regra de Simpson com o passo dado sem ajustar nada. Para a regra composta de Simpson (qualquer variante composta que exija passo uniforme), o número de subintervalos
deve ser um inteiro apropriado (e, dependendo da variante, pode haver condições adicionais, por exemplo Simpson 1/3 exige
par e Simpson 3/8 exige
múltiplo de
). Aqui
,
e
, então
Ou seja,
não é um número inteiro, portanto não é possível aplicar diretamente a regra composta de Simpson com passo exatamente
para o intervalo
. Isso cria uma incompatibilidade entre o passo pedido e o comprimento do intervalo.
Passo 3
Diante dessa incompatibilidade, há duas opções práticas: ajustar o passo ou ajustar o intervalo de integração. Porém o enunciado não permite ajuste nem dá instrução adicional. Como estudante, é importante saber também que, para esta densidade exponencial, a integral que precisamos calcular tem solução fechada simples — então podemos obter a resposta exata (e é uma boa referência para checar qualquer aproximação numérica). Vou então calcular a integral exatamente, explicando bem cada passo, porque isso te garante uma resposta correta mesmo quando o passo numérico pedido não bate com o intervalo.
Primeiro, recorde a primitiva (antiderivada) da função exponencial. Para constantes
,
fazemos a substituição (ou reconhecemos a forma padrão): se diferenciarmos
obtemos
. Portanto uma primitiva de
é
. Explicando passo a passo:
- Seja
. - Então
.
Logo
Passo 4
Aplicando a primitiva aos limites
e
:
Substituindo
,
Portanto
Passo 5
Agora calculamos o valor numérico de
. O número
é a base dos logaritmos naturais (
). Assim
Arredondando para quatro casas decimais fica
.
Observação prática: se o professor exigir estritamente o uso numérico de Simpson com
, você deve antes verificar (como fiz no Passo 2) se
é inteiro e se atende à condição da variante de Simpson pedida; caso não seja, é correto apontar essa incompatibilidade e pedir esclarecimento ou ajustar conforme instruções. Como exercício de verificação, você poderia também aproximar numericamente
usando um passo compatível (por exemplo
ou
) e comparar com o valor exato
para checar a precisão do método numérico.