Questão 5 - (Probabilidade) A função densidade de probabilidade do tempo de falha (X) de uma máquina é dada por
f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}}, \quad x \geq 0onde \mu é o tempo médio, em horas, entre falhas.
A probabilidade da máquina vir a falhar no intervalo de [\mathrm{a}, \mathrm{b}] horas de uso e depois de k horas de uso são obtidas, respectivamente, pelas integrais abaixo
\begin{aligned} & P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x) d x \\\ & P(X>k)=1-\int_{0}^{k} f(x) d x \end{aligned}
Sabendo que que o tempo médio entre falhas é de \mu=200 horas (ou seja, uma falha a cada 200 horas de uso), responda as perguntas a seguir usando a segunda regra de Simpson com passo de integração h=15 horas. Qual a probabilidade da máquina falhar:
depois de 200 horas de uso, ou seja, P(X>200) ?

Passo 1

O enunciado dá a densidade do tempo de falha X:
f(x)=\frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}},\quad x\ge 0,
com \mu=200 horas. Pede-se a probabilidade da máquina falhar depois de 200 horas, isto é
P(X>200)=1-\int_{0}^{200} f(x)\,dx.
Além disso, o enunciado solicita usar a “segunda regra de Simpson” com passo de integração h=15 horas.

Passo 2

Vamos verificar se é possível aplicar a regra de Simpson com o passo dado sem ajustar nada. Para a regra composta de Simpson (qualquer variante composta que exija passo uniforme), o número de subintervalos
n=\frac{b-a}{h}
deve ser um inteiro apropriado (e, dependendo da variante, pode haver condições adicionais, por exemplo Simpson 1/3 exige n par e Simpson 3/8 exige n múltiplo de 3). Aqui a=0, b=200 e h=15, então
n=\frac{200-0}{15}=\frac{200}{15}\approx 13{,}333\ldots
Ou seja, n não é um número inteiro, portanto não é possível aplicar diretamente a regra composta de Simpson com passo exatamente h=15 para o intervalo [0,200]. Isso cria uma incompatibilidade entre o passo pedido e o comprimento do intervalo.

Passo 3

Diante dessa incompatibilidade, há duas opções práticas: ajustar o passo ou ajustar o intervalo de integração. Porém o enunciado não permite ajuste nem dá instrução adicional. Como estudante, é importante saber também que, para esta densidade exponencial, a integral que precisamos calcular tem solução fechada simples — então podemos obter a resposta exata (e é uma boa referência para checar qualquer aproximação numérica). Vou então calcular a integral exatamente, explicando bem cada passo, porque isso te garante uma resposta correta mesmo quando o passo numérico pedido não bate com o intervalo.
Primeiro, recorde a primitiva (antiderivada) da função exponencial. Para constantes \mu>0,
\int \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}}\,dx
fazemos a substituição (ou reconhecemos a forma padrão): se diferenciarmos e^{-\frac{x}{\mu}} obtemos -\frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}. Portanto uma primitiva de \frac{1}{\mu}e^{-x/\mu} é -e^{-x/\mu}. Explicando passo a passo:
  • Seja u(x)= -e^{-x/\mu}.
  • Então u'(x)= -\left(-\frac{1}{\mu}e^{-x/\mu}\right)=\frac{1}{\mu}e^{-x/\mu}.
    Logo
\int \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}}\,dx = -e^{-\frac{x}{\mu}} + C.

Passo 4

Aplicando a primitiva aos limites 0 e 200:
\int_{0}^{200} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}}\,dx = \left[-e^{-\frac{x}{\mu}}\right]_{0}^{200} = -e^{-\frac{200}{\mu}} -\left(-e^{0}\right)=1 - e^{-\frac{200}{\mu}}.
Substituindo \mu=200,
\int_{0}^{200} f(x)\,dx = 1 - e^{-\frac{200}{200}} = 1 - e^{-1}.
Portanto
P(X>200)=1-\int_{0}^{200} f(x)\,dx = 1 - (1 - e^{-1}) = e^{-1}.

Passo 5

Agora calculamos o valor numérico de e^{-1}. O número e é a base dos logaritmos naturais ( e\approx 2{,}718281828\ldots). Assim
e^{-1}\approx 0{,}3678794412\ldots
Arredondando para quatro casas decimais fica 0{,}3679.
Observação prática: se o professor exigir estritamente o uso numérico de Simpson com h=15, você deve antes verificar (como fiz no Passo 2) se (b-a)/h é inteiro e se atende à condição da variante de Simpson pedida; caso não seja, é correto apontar essa incompatibilidade e pedir esclarecimento ou ajustar conforme instruções. Como exercício de verificação, você poderia também aproximar numericamente \int_0^{200} f(x)\,dx usando um passo compatível (por exemplo h=10 ou h=20) e comparar com o valor exato 1-e^{-1} para checar a precisão do método numérico.

Resposta

e^{-1}\approx0{,}3678794412

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