Questão 2 (CHAPRA, 2016 - questão 6.12 pág. 136) Use os métodos da bisseção, da secante e método do ponto fixo para encontrar a raiz da seguinte equação dentro do intervalo dado:
f(x)=x^wed>= 3-5 x+1, para (0,2)
Compare a convergência dos métodos e determine o erro relativo verdadeiro.

Passo 1

Beleza, o problema é achar a raiz da função
f(x)=x^3-5x+1
no intervalo usando três métodos: bisseção, secante e ponto-fixo.
Conteúdo: métodos numéricos de raízes de equações não lineares.
O que precisamos:
  1. saber que há mudança de sinal em (porque e ),
  2. entender como funciona cada método (bisseção, secante e ponto-fixo),
  3. escolher uma tolerância (aqui ),
  4. calcular o erro relativo verdadeiro , onde é a “verdadeira” raiz (vamos usar ).

Passo 2

Método da bisseção
  1. Começamos com m = a+b2, , xbis = 0.20162964+0.201644902approx0.20163727 .
  2. A cada iteração, calculamos o ponto médio
avaliamos e escolhemos o subintervalo onde muda de sinal.
3) Repetimos até .
Iterando dá (resumo rápido):
it₁: , ;

it₁₆: , intervalo de tamanho .
Aproximação final:
Teoria: bisseção segura e lenta, garante erro máximo .

Passo 3

Método da secante
  1. Escolhemos xk+1 = xk - f(xk),xk-xk-1f(xk)-f(xk-1) , xsec approx0.201640 .
  2. Usamos a fórmula
  1. Iteramos até .
    Fazendo as contas:
    x₂=0.25, x₃≈0.214286, x₄≈0.202702, x₅≈0.201655, x₆≈0.201640.
    Parou em 6 iterações com
Teoria: secante usa reta de dois pontos, converge mais rápido que bisseção mas não garante intervalos de sinal.

Passo 4

Método do ponto-fixo
Reescrevemos x = g(x) = x^3+15 como
xk+1 = g(xk)
A iteração é
xfix approx0.20163968
Escolhemos . Então:
x₁= ,
x₂= ,
x₃≈0.2016397,
x₄≈0.20163968.
Para bastaram 4 iterações e
Teoria: ponto-fixo requer na vizinhança da raiz (aqui é pequeno).

Passo 5

Comparação de convergência e erros
– Bisseção: 16 iterações, ,
erro relativo (0.0012%).
– Secante: 6 iterações, ,
erro relativo (0.00016%).
– Ponto-fixo: 4 iterações, ,
erro relativo (0.00001%).

Resposta

A raiz em alphaapprox0.20163968 é aproximadamente
O método de ponto-fixo convergiu mais rápido (4 iterações), depois a secante (6 iterações) e, por fim, a bisseção (16 iterações).
Os erros relativos verdadeiros finais são, respectivamente, , e .

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