Questão 2 (CHAPRA, 2016 - questão 6.12 pág. 136) Use os métodos da bisseção, da secante e método do ponto fixo para encontrar a raiz da seguinte equação dentro do intervalo dado: , para
Compare a convergência dos métodos e determine o erro relativo verdadeiro.
Passo 1
Beleza, o problema é achar a raiz da função
no intervalo usando três métodos: bisseção, secante e ponto-fixo.
Conteúdo: métodos numéricos de raízes de equações não lineares.
O que precisamos:
saber que há mudança de sinal em (porque e ),
entender como funciona cada método (bisseção, secante e ponto-fixo),
escolher uma tolerância (aqui ),
calcular o erro relativo verdadeiro , onde é a “verdadeira” raiz (vamos usar ).
Passo 2
Método da bisseção
Começamos com m = a+b2, , xbis = 0.20162964+0.201644902approx0.20163727 .
A cada iteração, calculamos o ponto médio
avaliamos e escolhemos o subintervalo onde muda de sinal.
3) Repetimos até .
Iterando dá (resumo rápido):
it₁: , ;
…
it₁₆: , intervalo de tamanho .
Aproximação final:
Teoria: bisseção segura e lenta, garante erro máximo .
O método de ponto-fixo convergiu mais rápido (4 iterações), depois a secante (6 iterações) e, por fim, a bisseção (16 iterações).
Os erros relativos verdadeiros finais são, respectivamente, , e .