Questão 1 (CHAPRA, 2016 - questão 3.9 pág. 62) A tabela a seguir mostra os valores de uma função matemática e suas aproximações computacionais:
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1 | 2.71828 | 2.71 |
2 | 7.38906 | 7.38 |
3 | 20.0855 | 20.08 |
(b) Discuta como a precisão e a exatidão impactam a confiabilidade dos valores aproximados.
Passo 1
Beleza, aqui o que a questão pede é discutir como “precisão” e “exatidão” afetam a confiabilidade das aproximações de uma função. O conteúdo é de tratamento de erros em cálculos numéricos: vamos precisar saber o que é exatidão (quão perto do valor verdadeiro estamos) e o que é precisão (quantos dígitos ou quão consistentes são várias medidas/aproximações). A tarefa é usar a tabela dada (valores exatos de F(X) e valores aproximados) para ver o impacto desses conceitos na confiança que temos nos números arredondados.
Passo 2
Antes de usar a tabela, vamos definir os termos de boa.
- Exatidão (accuracy): mostra o quão próximo o valor aproximado está do valor exato. Se o valor “2.71” fica bem perto de “2.71828”, dizemos que há boa exatidão. Matematicamente, a gente costuma usar o erro relativo:
- Exatidão (accuracy): mostra o quão próximo o valor aproximado está do valor exato. Se o valor “2.71” fica bem perto de “2.71828”, dizemos que há boa exatidão. Matematicamente, a gente costuma usar o erro relativo:
- Precisão (precision): indica a consistência ou o número de dígitos confiáveis na aproximação. Se todos os valores estão sempre com duas casas decimais, a precisão é “duas casas decimais”, mesmo que cada valor fique a uma distância diferente do exato.
Passo 3
Vamos olhar um caso concreto (X = 1):
- Valor exato:
|2.71 - 2.71828| = 0.00828 - Valor aproximado:
0.008282.71828times100%approx0.30%
Erro absoluto:
Erro relativo:
Isso mostra que, embora a gente só tenha duas casas decimais (precisão limitada), o valor aproximado está a apenas 0,30 % do real (boa exatidão).
Passo 4
Repetindo para X = 2 e X = 3 vemos padrões:
- Todos os valores computacionais têm duas casas decimais (precisão igual).
- Os erros relativos variam, mas ficam na casa de 0,1 % a 0,3 % (exatidão razoável).
Passo 5
Agora, o impacto na confiabilidade:
- Se a precisão for baixa (poucas casas decimais), mesmo que a gente seja exato no arredondamento, pode faltar detalhe para cálculos posteriores e erros podem crescer.
- Se a exatidão for ruim (grande desvio do verdadeiro), a gente pode estar sempre “certo por perto”, mas sistematicamente errado — isso atrapalha qualquer cálculo que dependa do valor real.
- Para confiar de verdade em resultados numéricos, quer-se boa exatidão (erro pequeno) e boa precisão (bastante casas decimais ou consistência).
Resposta
Precisão limitada a duas casas decimais torna as aproximações consistentes, mas reduz o detalhamento (pode causar propagação de erro em etapas futuras); exatidão em torno de 0,1 %–0,3 % garante que o valor aproximado não esteja muito longe do exato. A confiabilidade das aproximações só é alta quando se combinam as duas: bastante casas decimais (precisão) e pequeno desvio do valor verdadeiro (exatidão).