Questão 6 (CHAPRA, 2016 - questão 21.10 pág. 526) - Use a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson para aproximar a seguinte integral:
Compare seus resultados com o valor real da integral e determine o erro relativo.
Compare seus resultados com o valor real da integral e determine o erro relativo.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é aproximar a integral
usando duas regras numéricas: Trapézio e Simpson. Isso faz parte de Métodos Numéricos (ou Cálculo Numérico), mais precisamente de integração aproximada. Para resolver, a gente vai precisar:
- Escolher um número de subintervalos (eu vou usar
, um valor comum que funciona bem). - Calcular o tamanho do passo
. - Aplicar as fórmulas do Trapézio e de Simpson.
- Comparar com o valor “exato” da integral, que é
.
Passo 2
Aplicando a Regra do Trapézio com
:
- Primeiro o passo
:
- Os nós (pontos) são
- Avaliamos
em cada nó:
- Fórmula do Trapézio:
- Substituindo:
Passo 3
Aplicando a Regra de Simpson com
(que é par, ok):
- Mesmo
e mesmos . - Fórmula de Simpson:
- Substituindo:
Passo 4
O valor “exato” é
Agora o erro relativo:
Para o Trapézio:
Para Simpson:
Resposta
Trapézio (
):
, erro relativo ≈ 0.3317%
Simpson ( ):
, erro relativo ≈ 0.00074%
Simpson (