Questão 6 (CHAPRA, 2016 - questão 21.10 pág. 526) - Use a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson para aproximar a seguinte integral:
integral0^1 11+x^2
Compare seus resultados com o valor real da integral e determine o erro relativo.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é aproximar a integral
I = integral0^1 11+x^2 , dx
usando duas regras numéricas: Trapézio e Simpson. Isso faz parte de Métodos Numéricos (ou Cálculo Numérico), mais precisamente de integração aproximada. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Escolher um número de subintervalos (eu vou usar , um valor comum que funciona bem).
  2. Calcular o tamanho do passo .
  3. Aplicar as fórmulas do Trapézio e de Simpson.
  4. Comparar com o valor “exato” da integral, que é .

Passo 2

Aplicando a Regra do Trapézio com h = 1 - 04 = 0.25 :
  1. Primeiro o passo x0=0,; x1=0.25,; x2=0.5,; x3=0.75,; x4=1 :
f0=1,; f1=11+0.25^2=0.9411765,; f2=0.8,; f3=0.64,; f4=0.5
  1. Os nós (pontos) são
T = h2l(f0 + 2(f1+f2+f3) + f4r)
  1. Avaliamos T = 0.252l(1 + 2(0.9411765+0.8+0.64) + 0.5r) = 0.7827941 (aprox) em cada nó:
  1. Fórmula do Trapézio:
  1. Substituindo:

Passo 3

Aplicando a Regra de Simpson com S = h3l(f0 + 4(f1+f3) + 2f2 + f4r) (que é par, ok):
  1. Mesmo S = 0.253l(1 + 4(0.9411765+0.64) + 2cdot0.8 + 0.5r) = 0.7853922 (aprox) e mesmos .
  2. Fórmula de Simpson:
  1. Substituindo:

Passo 4

O valor “exato” é
I = integral0^111+x^2dx = arctan(1)-arctan(0) = pi4 approx 0.7853982
Agora o erro relativo:
errorelativo = |aprox - exato||exato|times100%
Para o Trapézio:
|0.7827941 - 0.7853982|0.7853982times100% approx 0.3317%
Para Simpson:
|0.7853922 - 0.7853982|0.7853982times100% approx 0.00074%

Resposta

Trapézio ( ): , erro relativo ≈ 0.3317%
Simpson ( ): , erro relativo ≈ 0.00074%

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