Questão 5 (RUGGIERO, 1998 - questão 4.4 pág. 437) Utilize splines cúbicos para interpolar os seguintes pontos e estime o valor de f(2.5)
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1 | 2 | 3 | 4 |
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2.0 | 2.8 | 3.6 | 4.5 |
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é usar splines cúbicos naturais para interpolar os 4 pontos
e daí estimar
.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Entender o que é spline cúbico natural (peça por pedaços de polinômio cúbico, contínuo até a 2ª derivada, e com 2ª derivada nula nas pontas).
- Montar o sistema tridiagonal para as segundas derivadas nos nós (
). - Resolver esse sistema (aqui fica fácil porque os nós estão igualmente espaçados).
- Escrever a fórmula do spline no intervalo
e avaliar em .
Passo 2
Teoria rápida: em cada intervalo
o spline é
onde
. Para spline natural, impomos
(e nas pontas a 2ª derivada some). As segundas derivadas internas
vêm do sistema
Aqui
sempre.
Passo 3
Escrevendo para
e
, e já sabendo
:
Para :
Para
Para
:
Resolvendo o sistema
a gente acha
Passo 4
O ponto
está no intervalo
(
), com
,
,
.
Aplicando a fórmula do spline:
Aplicando a fórmula do spline:
Calculando passo a passo (sabendo
):
Somando tudo dá