Questão 5 (RUGGIERO, 1998 - questão 4.4 pág. 437) Utilize splines cúbicos para interpolar os seguintes pontos e estime o valor de f(2.5)
X 1 2 3 4
F(X) 2.0 2.8 3.6 4.5

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar splines cúbicos naturais para interpolar os 4 pontos
(1,2.0),;(2,2.8),;(3,3.6),;(4,4.5)
e daí estimar .
O que a gente vai precisar:
  • Entender o que é spline cúbico natural (peça por pedaços de polinômio cúbico, contínuo até a 2ª derivada, e com 2ª derivada nula nas pontas).
  • Montar o sistema tridiagonal para as segundas derivadas nos nós ( ).
  • Resolver esse sistema (aqui fica fácil porque os nós estão igualmente espaçados).
  • Escrever a fórmula do spline no intervalo e avaliar em .

Passo 2

Teoria rápida: em cada intervalo Si(x)= Mi(xi+1-x)^36h +Mi+1(x - xi)^36h +l(fi-Mi h^26r)xi+1-xh +l(fi+1-Mi+1h^26r)x-xih, o spline é
M1=M4=0
onde h,Mi-1+2(h+h),Mi+h,Mi+1 =6l(fi+1-fih-fi-fi-1hr) . Para spline natural, impomos
(e nas pontas a 2ª derivada some). As segundas derivadas internas vêm do sistema
Aqui sempre.

Passo 3

Escrevendo para 1cdot M1+4M2+1cdot M3 =6l((3.6-2.8)-(2.8-2.0)r)=6(0.8-0.8)=0 Longrightarrow4M2+M3=0 e 1cdot M2+4M3+1cdot M4 =6l((4.5-3.6)-(3.6-2.8)r)=6(0.9-0.8)=0.6 Longrightarrow M2+4M3=0.6 , e já sabendo 4M2+M3=0, M2+4M3=0.6, :
Para M2=-0.04, M3=0.16 :
Para :
Resolvendo o sistema
a gente acha

Passo 4

O ponto S2(2.5)= M2(3-2.5)^36 +M3(2.5-2)^36 +l(2.8-M2cdot1^26r)(3-2.5) +l(3.6-M3cdot1^26r)(2.5-2) está no intervalo & M20.1256 = -0.04cdot0.1256 approx -0.0008333, & M30.1256 = 0.16cdot0.1256 approx 0.0033333, & 2.8-M26=2.8+0.0066667=2.8066667, (3-2.5)=0.5 ;Longrightarrow;1.40333335, & 3.6-M36=3.6-0.0266667=3.5733333, (2.5-2)=0.5 ;Longrightarrow;1.78666665 ( S2(2.5)approx -0.0008333 + 0.0033333 +1.40333335 +1.78666665 approx 3.1925 ), com , , .
Aplicando a fórmula do spline:
Calculando passo a passo (sabendo ):
Somando tudo dá

Resposta

.

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