Questão 5 Sejam
pontos
com abcissas todas distintas e
, e seja
o polinômio interpolador de grau
. Marque a alternative verdadeira:
A O erro de truncamento cometido ao avaliar
em
pode ser maior que ao avaliar
em
.
B O método de Newton obtém polinômios diferentes se ordenarmos as abscissas como
e como
.
(C) Se
for alto, estimativas
podem ser ruins, sendo sujeitas ao fenômeno de Runge.
D Se as abcissas
forem igualmente espaçadas, o erro de truncamento do polinômio de Newton é inferior ao de Lagrange.
E) Gregory-Newton só pode ser aplicado se os pontos não forem igualmente espaçados.
A O erro de truncamento cometido ao avaliar
B O método de Newton obtém polinômios diferentes se ordenarmos as abscissas como
(C) Se
E) Gregory-Newton só pode ser aplicado se os pontos não forem igualmente espaçados.
Passo 1
O enunciado apresenta
pontos, pede para escolher a alternativa verdadeira sobre o polinômio interpolador
, seus erros e métodos de Newton/Gregory-Newton. O conteúdo envolvido é interpolação polinomial, erro de truncamento (termo resto) e fenômeno de Runge.
Passo 2
Analisando A: o termo resto da interpolação é
Em
um dos fatores é zero, logo
. Para
em
o resto não é zero em geral. Assim o erro de
em
não pode ser maior que o de
, logo A é falsa.
Passo 3
Analisando B: o polinômio interpolador é único, independente da ordem dos pontos. O método de Newton em diferentes ordenações muda apenas a base e coeficientes intermediários, mas resulta no mesmo
. Portanto B é falsa.
Passo 4
Analisando C: para
grande e nós igualmente espaçados, o polinômio de grau alto pode oscilar fortemente nas extremidades (fenômeno de Runge), gerando más estimativas. Logo C é verdadeira.
Passo 5
Analisando D: as formas de Newton e de Lagrange representam o mesmo polinômio, portanto têm o mesmo erro de truncamento. Logo D é falsa.
Passo 6
Analisando E: a fórmula de Gregory-Newton baseia-se em diferenças finitas igualmente espaçadas, logo só se aplica quando os nós são igualmente espaçados, e não o contrário. Assim E é falsa.
Resposta
(C)