Questão 5 Sejam n+1 pontos (x0, y0), ldots,(xn, yn) com abcissas todas distintas e x in[x0, xn], e seja Pn o polinômio interpolador de grau n. Marque a alternative verdadeira:
A O erro de truncamento cometido ao avaliar Pn em xn pode ser maior que ao avaliar Pn-1 em xn.
B O método de Newton obtém polinômios diferentes se ordenarmos as abscissas como (x0, y0), ldots,(xn, yn) e como (xn, yn), ldots,(x0, y0).
(C) Se n for alto, estimativas Pn(x) podem ser ruins, sendo sujeitas ao fenômeno de Runge.
D Se as abcissas x0, ldots, xn forem igualmente espaçadas, o erro de truncamento do polinômio de Newton é inferior ao de Lagrange.
E) Gregory-Newton só pode ser aplicado se os pontos não forem igualmente espaçados.

Passo 1

O enunciado apresenta (n+1) pontos, pede para escolher a alternativa verdadeira sobre o polinômio interpolador Pn, seus erros e métodos de Newton/Gregory-Newton. O conteúdo envolvido é interpolação polinomial, erro de truncamento (termo resto) e fenômeno de Runge.

Passo 2

Analisando A: o termo resto da interpolação é
Rn(x)=f^(n+1)(xi)(n+1)!prodi=0^n (x-xi)
Em x=xn um dos fatores é zero, logo Rn(xn)=0. Para Pn-1 em xn o resto não é zero em geral. Assim o erro de Pn em xn não pode ser maior que o de Pn-1, logo A é falsa.

Passo 3

Analisando B: o polinômio interpolador é único, independente da ordem dos pontos. O método de Newton em diferentes ordenações muda apenas a base e coeficientes intermediários, mas resulta no mesmo Pn(x). Portanto B é falsa.

Passo 4

Analisando C: para n grande e nós igualmente espaçados, o polinômio de grau alto pode oscilar fortemente nas extremidades (fenômeno de Runge), gerando más estimativas. Logo C é verdadeira.

Passo 5

Analisando D: as formas de Newton e de Lagrange representam o mesmo polinômio, portanto têm o mesmo erro de truncamento. Logo D é falsa.

Passo 6

Analisando E: a fórmula de Gregory-Newton baseia-se em diferenças finitas igualmente espaçadas, logo só se aplica quando os nós são igualmente espaçados, e não o contrário. Assim E é falsa.

Resposta

(C)

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