Questão 6 Usando o método da bisseção, determine uma raiz das funções a seguir com precisão de duas casas decimais:
f(x)=\ln (x)-\operatorname{sen}(x);

Passo 1

O enunciado pede uma raiz de
f(x)=\ln(x)-\sin(x)
usando o método da bisseção, com duas casas decimais de precisão. Para garantir duas casas decimais corretas, vamos usar como critério de parada um intervalo [a,b] tal que
b - a \le 0{,}01.

Passo 2

Primeiro escolhemos um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Note que
f(2)=\ln(2)-\sin(2)\approx 0{,}6931-0{,}9093=-0{,}2162<0,
f(3)=\ln(3)-\sin(3)\approx 1{,}0986-0{,}1411=0{,}9575>0.
Logo podemos iniciar em
[a,b]=[2,\;3]\,.

Passo 3

Aplicamos a bisseção até b-a\le0{,}01. Nos cálculos abaixo, m é o ponto médio de cada intervalo e avaliamos o sinal de f(m):
  1. [2,3],
    m=2{,}5,
    f(2{,}5)\approx0{,}9163-0{,}5985=0{,}3178>0; \Rightarrow[2,2{,}5]
  2. [2,\;2{,}5],
    m=2{,}25,
    f(2{,}25)\approx0{,}8109-0{,}7781=0{,}0328>0; \Rightarrow[2,2{,}25]
  3. [2,\;2{,}25],
    m=2{,}125,
    f(2{,}125)\approx0{,}7538-0{,}8506=-0{,}0968<0; \Rightarrow[2{,}125,2{,}25]
  4. [2{,}125,2{,}25],
    m=2{,}1875,
    f(2{,}1875)\approx0{,}7825-0{,}8157=-0{,}0332<0; \Rightarrow[2{,}1875,2{,}25]
  5. [2{,}1875,2{,}25],
    m=2{,}21875,
    f(2{,}21875)\approx0{,}7969-0{,}7971=-0{,}0002<0; \Rightarrow[2{,}21875,2{,}25]
  6. [2{,}21875,2{,}25],
    m=2{,}234375,
    f(2{,}234375)\approx0{,}8039-0{,}7885=0{,}0154>0; \Rightarrow[2{,}21875,2{,}234375]
Neste ponto
b-a=2{,}234375-2{,}21875=0{,}015625>0{,}01,
ainda não atingimos a tolerância. Continuamos:
  1. [2{,}21875,2{,}234375],
    m=2{,}2265625,
    f(2{,}2265625)\approx0{,}8004-0{,}7929=0{,}0075>0; \Rightarrow[2{,}21875,2{,}2265625]
Agora
b-a=2{,}2265625-2{,}21875=0{,}0078125<0{,}01,
podemos parar.

Passo 4

Tomamos como aproximação da raiz o ponto médio do último intervalo:
x^*=\frac{2{,}21875+2{,}2265625}{2}=2{,}22265625.
Arredondando para duas casas decimais, fica
x^*\approx2{,}22.

Resposta

A raiz de f(x)=\ln(x)-\sin(x) com duas casas decimais de precisão é aproximadamente
\boxed{2{,}22}.

Exercícios relacionados