Questão 1

Considere a fatoração \mathrm{LL}^{\top} de Cholesky de \left(\begin{array}{ccc}36 & -12 & -12 \\\\ -12 & 20 & 4 \\\\ -12 & 4 & 9\end{array}\right). Calcule os valores a seguir,
usando quatro casas decimais.
Qual o valor de \ell_{22} ? \square
Dica: [1; 10] contém a resposta.
Qual o valor de \ell_{33} ? \square
Dica: [1; 5] contém a resposta.

Passo 1

O enunciado pede que, na fatoração de Cholesky \mathrm{LL}^{\top} da matriz
A=\begin{pmatrix}36 & -12 & -12 \\\\ -12 & 20 & 4 \\\\ -12 & 4 & 9\end{pmatrix},
se calcule \ell_{22} e \ell_{33}, usando quatro casas decimais.
Dica dada: \ell_{22}\in[1;10] e \ell_{33}\in[1;5].
Lista das informações relevantes que temos: os elementos de A são a_{11}=36, a_{12}=a_{21}=-12, a_{13}=a_{31}=-12, a_{22}=20, a_{23}=a_{32}=4, a_{33}=9. A fatoração procurada é A=LL^{\top} com L triangular inferior com diagonais positivas.

Passo 2

Explico a regra prática da decomposição de Cholesky que vamos usar (sem pular etapas). Se A é simétrica e definida positiva e
L=\begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 & 0\\\ \ell_{21} & \ell_{22} & 0\\\ \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{pmatrix},
então os coeficientes de L são obtidos por estas fórmulas padrão:
\ell_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1}\ell_{ik}^{2}}\quad\text{(para }i=1,2,3\text{)},
\ell_{ji}=\frac{1}{\ell_{ii}}\Big(a_{ji}-\sum_{k=1}^{i-1}\ell_{jk}\ell_{ik}\Big)\quad\text{(para }j>i\text{)}.
Aqui eu explico o que cada símbolo significa: \ell_{ii} é a entrada diagonal da linha i de L; \ell_{ji} é a entrada na linha j, coluna i de L (com j>i); a_{ij} é o elemento da matriz A. A soma \sum_{k=1}^{i-1} acumula as contribuições já encontradas nas colunas anteriores. Escolhemos sempre a raiz positiva em \ell_{ii} para que L tenha diagonais positivas (convenção da fatoração de Cholesky).

Passo 3

Começamos pelo elemento \ell_{11}. Pelo fórmula para i=1 não há soma (soma vazia = 0), então
\ell_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{36} = 6.
Agora usamos a fórmula para \ell_{21} e \ell_{31} (caso j>1):
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{\ell_{11}}=\frac{-12}{6}=-2,
\ell_{31}=\frac{a_{31}}{\ell_{11}}=\frac{-12}{6}=-2.
Mostrei as divisões passo a passo; tudo isso é exato e não precisa de aproximação.

Passo 4

Agora calculamos \ell_{22} usando a fórmula da diagonal para i=2:
\ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\sum_{k=1}^{1}\ell_{2k}^{2}}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^{2}}.
Substituindo os valores conhecidos a_{22}=20 e \ell_{21}=-2 (lembre que \ell_{21}^{2}=(-2)^{2}=4):
\ell_{22}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4.
Como a questão pede quatro casas decimais, escrevemos \ell_{22}=4{,}0000.

Passo 5

Precisamos do elemento \ell_{32} antes de \ell_{33}. Use a fórmula para j=3,i=2:
\ell_{32}=\frac{1}{\ell_{22}}\Big(a_{32}-\sum_{k=1}^{1}\ell_{3k}\ell_{2k}\Big) =\frac{1}{\ell_{22}}\big(a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}\big).
Substituindo a_{32}=4, \ell_{31}=-2 e \ell_{21}=-2, e \ell_{22}=4:
\ell_{32}=\frac{1}{4}\big(4-(-2)\cdot(-2)\big)=\frac{1}{4}(4-4)=\frac{0}{4}=0.

Passo 6

Finalmente calculamos \ell_{33} pela fórmula diagonal para i=3:
\ell_{33}=\sqrt{a_{33}-\sum_{k=1}^{2}\ell_{3k}^{2}}=\sqrt{a_{33}-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2}}.
Substituindo a_{33}=9, \ell_{31}=-2 e \ell_{32}=0:
\ell_{33}=\sqrt{9-(-2)^{2}-0^{2}}=\sqrt{9-4}= \sqrt{5}.
Agora precisamos do valor numérico com quatro casas decimais. Sabemos que \sqrt{5}\approx 2{,}236067977\ldots Arredondando para quatro casas decimais obtemos \ell_{33}=2{,}2361.

Resposta

\ell_{22}=4{,}0000
\ell_{33}=2{,}2361

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